Konvergente Mengenfolge

Eine konvergente Mengenfolge ist eine Mengenfolge, für die der Limes superior der Mengenfolge und der Limes inferior der Mengenfolge übereinstimmen. Konvergente Mengenfolgen treten beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie auf.

Definition

Gegeben sei eine Mengenfolge $(A_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ aus einer Grundmenge $\Omega$ . Der Limes superior der Mengenfolge

$\limsup _{{n\to \infty }}A_{n}={\bigcap _{{n=1}}^{\infty }}\left({\bigcup _{{m=n}}^{\infty }}A_{m}\right)$

ist die Menge aller Elemente aus $\Omega$ , die in unendlich vielen $A_{n}$ liegen. Der Limes inferior der Mengenfolge

$\liminf _{{n\to \infty }}A_{n}={\bigcup _{{n=1}}^{\infty }}\left({\bigcap _{{m=n}}^{\infty }}A_{m}\right)$

ist die Menge aller Elemente aus $\Omega$ , die in fast allen (d. h. in allen bis auf endlich vielen) $A_{n}$ liegen.

Die Mengenfolge heißt dann konvergent, wenn ihr Limes inferior und ihr Limes superior übereinstimmen, also

$\limsup _{{n\to \infty }}A_{n}=\liminf _{{n\to \infty }}A_{n}$

ist.

$\lim _{{n\to \infty }}A_{n}:=\limsup _{{n\to \infty }}A_{n}=\liminf _{{n\to \infty }}A_{n}$

heißt dann der Limes der Mengenfolge oder Grenzwert der Mengenfolge. Man sagt dann, dass die Mengenfolge $(A_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ gegen $\lim _{{n\to \infty }}A_{n}$ konvergiert.

Beispiele

Als Beispiel betrachten wir die Mengenfolge

$A_{n}:=[0;1{,}5+0{,}5(-1)^{n}]$ .

Für beliebiges ist immer

$\bigcap _{{m=n}}^{\infty }A_{m}=[0;1]{\text{ und }}\bigcup _{{m=n}}^{\infty }A_{m}=[0;2]$ .

Somit ist

$\liminf _{{n\to \infty }}A_{n}={\bigcup _{{n=1}}^{\infty }}[0;1]=[0;1]\neq [0;2]={\bigcap _{{n=1}}^{\infty }}[0;2]=\limsup _{{n\to \infty }}A_{n}$ .

Somit stimmen Limes superior und Limes Inferior nicht überein, die Mengenfolge konvergiert also nicht.

Konvergenz monotoner Mengenfolgen

Monoton fallende Mengenfolgen, also solche mit $A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\cdots$ und monoton wachsende Mengenfolgen, also solche mit $A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\cdots$ , konvergieren immer. Sie konvergieren dann gegen

$\lim _{{n\to \infty }}A_{n}=\bigcup _{{n=1}}^{\infty }A_{n}$ ,

wenn die Mengenfolge monoton wachsend ist und gegen

$\lim _{{n\to \infty }}A_{n}=\bigcap _{{n=1}}^{\infty }A_{n}$ ,

wenn die Mengenfolge monoton fallend ist. Ist der Grenzwert einer monoton wachsenden Folge, so schreibt man auch $A_{n}\uparrow A$ . Ist der Grenzwert einer monoton fallenden Folge, so schreibt man auch $A_{n}\downarrow A$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de