Monotone Mengenfolge

Eine monotone Mengenfolge ist eine spezielle Mengenfolge, bei der spezielle Inklusionsbeziehungen gelten. Ist eine Menge mit kleinerem Index immer in einer Menge mit größerem index enthalten, so nennt man die Folge eine monoton wachsende Mengenfolge. Enthält eine Menge mit kleinerem Index immer in einer Menge mit größerem index, so nennt man die Folge eine monoton fallende Mengenfolge. Monotone Mengenfolgen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Definition

Eine Mengenfolge $(A_{i})_{{i\in {\mathbb {N}}}}$ heißt

Monoton wachsend oder monoton steigend, wenn $A_{k}\subseteq A_{{k+1}}$ gilt.
Monoton fallend, wenn $A_{k}\supseteq A_{{k+1}}$ gilt.
Monoton, wenn sie entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist.

Teilweise findet sich auch die Bezeichnung einer monoton aufsteigenden Mengenfolge oder einer monoton absteigenden Mengenfolge.

Beispiele

Die Mengenfolge definiert durch

$(A_{k})_{{k\in {\mathbb {N}}}}=\{0,\dots ,k\}\subset \mathbb{N}$

ist eine monoton wachsende Mengenfolge, da jede Menge $A_{k}$ alle Elemente der Menge $A_{{k-1}}$ enthält.

Die Mengenfolge $(A_{k})_{{k\in {\mathbb {N}}}}=[0,1-1/k]_{{k\in {\mathbb {N}}}}=(\{0\},[0,1/2],[0,2/3],\dotsc )$ ist monoton wachsend. Dies folgt direkt aus der Monotonie der reellen Folge $(a_{k})_{{k\in \mathbb{N} }}=\left({\tfrac {1}{k}}\right)_{{k\in \mathbb{N} }}$ .
Genauso ist die Mengenfolge $(A_{k})_{{k\in {\mathbb {N}}}}=[0,1/k]_{{k\in {\mathbb {N}}}}=([0,1],[0,1/2],[0,1/3],\dotsc )$ monoton fallend.