Mengenfolge
Eine Mengenfolge ist ein Begriff aus der Mengenlehre, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie ist eine Verallgemeinerung einer Folge von Zahlen für Mengen und findet beispielsweise Anwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie.
Definition
Formal definiert ist eine Mengenfolge auf der Grundmenge
als eine Abbildung
die jedem Index
aus der als Indexmenge
verwendeten Menge der natürlichen
Zahlen
eine Folgenglied
aus der Potenzmenge
zuordnet
Mit anderen Worten, eine Mengenfolge ist eine geordnete Abfolge von Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge.
Beispiel
Die Grundmenge seien nun die natürlichen Zahlen :
Abgrenzung
Im Unterschied zum Mengensystem ist bei einer Mengenfolge (wie bei jeder Folge) die Reihenfolge der Folgenglieder von Bedeutung. Außerdem darf das gleiche Folgenglied darf durchaus auch mehrfach auftreten, aber eben mit unterschiedlichem Index.
Eine Mengenfolge ist ein Spezialfall einer Mengenfamilie, wenn man bei der Familie als Indexmenge die natürlichen Zahlen wählt. Der Unterschied von der Mengenfolge zur Mengenfamilie ist, dass bei einer Mengenfamilie nicht notwendigerweise eine Ordnungsrelation auf den Indizes gegeben ist. Es gibt also nicht einen kleineren oder einer größeren Index. Diese Ordnung tragen die Indizes einer Mengenfolge automatisch über die natürliche Ordnung der natürlichen Zahlen.
Eigenschaften
- Eine Mengenfolge heißt eine monotone
Mengenfolge, wenn immer
oder
gilt.
- Wie auch bei Zahlenfolgen lässt sich der Limes superior und Limes inferior von Mengenfolgen definieren.
- Mithilfe des Limes inferior und des Limes superior lässt sich auch konvergenz für Mengenfolgen definieren. Eine Mengenfolge konvergiert genau dann, wenn der Limes superior und der Limes inferior übereinstimmen. Beispielsweise konvergiert jede monotone Mengenfolge.



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.04. 2020