Fast-konvexe Funktion

Die fast konvexen Funktionen (englisch convex-like functions) bilden eine Verallgemeinerung der konvexen Funktionen und werden in der mathematischen Optimierung verwendet, da für sie einfache Regularitätsvoraussetzungen wie die Slater-Bedingung gelten, unter denen starke Dualität gilt und damit auch die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen gelten.

Definition

Seien $V_{1},V_{2}$ reelle Vektorräume und $K\,$ ein Ordnungskegel auf $V_{2}$ sowie $D_{1}$ eine nichtleere Teilmenge von $V_{1}$ . Dann heißt eine Abbildung $f\colon D_{1}\mapsto V_{2}$ fast konvex, wenn die Menge

$M:=f(D_{1})+K$

konvex ist. Die Menge lässt sich äquivalent beschreiben als

$M=\{y\in V_{2}\,|\,\exists x\in D_{1}{\text{ so dass }}f(x)-y\in -K\}$

Ist der Kegel ein echter Kegel und definiert damit eine verallgemeinerte Ungleichung $\preccurlyeq _{K}$ , so lautet diese Menge

$M=\{y\in V_{2}\,|\,\exists x\in D_{1}{\text{ so dass }}f(x)\preccurlyeq _{K}y\}$

Beispiele

Betrachtet man die Funktion $f\colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ mit $f(x)=\sin(x)$ und den echten Kegel $K={\mathbb {R}}_{+}=\{x\in {\mathbb {R}}\,|\,x\geq 0\}$ sowie $D_{1}=[0,2\pi ]$ , so ist $\sin(D_{1})=[-1,1]$ . Damit ist $M=[-1;1]+{\mathbb {R}}_{+}=\{x\in {\mathbb {R}}\,|\,x\geq -1\}$ . Diese Menge ist konvex und damit ist die Sinusfunktion fast konvex.

Betrachtet man die Funktion $f(x)={\begin{cases}-1&{\text{ falls }}x\leq 0\\1&{\text{ falls }}x>0\end{cases}}$

und definiert $g\colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ^{2}$ durch

$g(x)={\begin{pmatrix}f(x)\\5x\end{pmatrix}}$

auf $D_{0}={\mathbb {R}}$ mit dem Ordnungskegel $K=\mathbb {R} _{+}\times \{0\}$ . Für $x\in D_{1}=\{x\in {\mathbb {R}}\,|\,x\leq 0\}$ ist jeder Punkt der Bildmenge von der Form (-1,5x) und damit ist $g(D_{1})=\{y\in {\mathbb {R}}^{2}\,|\,y_{1}=-1,y_{2}\leq 0\}$ . Analog folgt mit $D_{2}=\{x\in {\mathbb {R}}\,|\,x>0\}$ , dass $g(D_{2})=\{y\in {\mathbb {R}}^{2}\,|\,y_{1}=1,y_{2}>0\}$ . Somit ist

${\begin{aligned}g(D_{1})+K=\{y\in {\mathbb {R}}^{2}\,|\,y_{1}\geq -1,y_{2}\leq 0\}\\g(D_{2})+K=\{y\in {\mathbb {R}}^{2}\,|\,y_{1}\geq 1,y_{2}>0\}\end{aligned}}$

Da aber $D_{0}=D_{1}\cup D_{2}$ ist, kann die Menge $g(D_{0})+K=g(D_{1}\cup D_{2})+K=\left(g(D_{1})+K\right)\cup \left(g(D_{2})+K\right)$ nicht konvex sein, da zum Beispiel die Punkte $(-1,0)^{T}$ und $(1,1)^{T}$ in $g(D_{0})+K$ enthalten sind, aber keiner der Punkte auf der Strecke zwischen ihnen. Zum Beispiel ist (0,0{,}5) der Mittelpunkt dieser Strecke, aber nicht in $g(D_{0})+K$ enthalten.

Eigenschaften

Jede konvexe Funktion ist fast konvex bezüglich des natürlichen Kegels $K={\mathbb {R}}_{+}$ . Dies folgt direkt aus der Konvexität des Epigraphs. Genauso ist auch jede K-konvexe Funktion fast konvex bezüglich ihres Kegels.

Verwendung

Die fast konvexen Funktionen sind eine Funktionenklasse, die so definiert ist, dass wenn sie die Slater-Bedingung erfüllt, die starke Dualität gilt. Sei also ein Optimierungsproblem der Form

${\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&f(x)\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&g(x)\in -K\\&x\in R\end{aligned}}$

gegeben für einen Ordnungskegel $K\,$ mit nichtleerem Inneren und Abbildungen $f\colon V\mapsto \mathbb {R}$ und $g\colon V\mapsto Y$ . Dabei sind $V,Y$ normierte reelle Vektorräume und die Funktion $K\colon V\mapsto \mathbb {R} \times Y$ definiert durch K(x)=(f(x),g(x)) ist fast konvex bezüglich des Kegels ${\mathbb {R}}_{+}\times K$ . Weiter sei eine beliebige nichtleere Teilmenge von .

Das Problem erfüllt nun die Slater-Bedingung, wenn es einen zulässigen Punkt ${\tilde x}$ gibt. Das heißt ${\tilde x}\in R,\,g({\tilde x})\in -K$ , so dass $g({\tilde x})\in \operatorname {int}(-K)$ ist. Dabei bezeichnet $\operatorname {int}(M)$ das Innere einer Menge.

Erfüllt solch ein Problem mit fast konvexen Funktionen nun die Slater-Bedingung, so gilt starke Dualität und damit zum Beispiel auch die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen. Der Begriff der fast konvexen Funktion erweitert also die Dualitätstheorie der konvexen Funktionen auf Probleme, die nicht notwendigerweise konvex sein müssen. Dies hat den Vorteil, dass die Slater-Bedingung im Gegensatz zu vielen anderen Regularitätsbedingungen oder „constraint qualifications“ die Regularität des gesamten Problemes liefert, und nicht nur die Regularität in einem Punkt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de