Airy-Funktion

Die Airy-Funktion {\displaystyle \operatorname {Ai} (x)} bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik. Die Funktion {\displaystyle \operatorname {Ai} (x)} und die verwandte Funktion {\displaystyle \operatorname {Bi} (x)}, die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen Differentialgleichung

{\displaystyle \ y''-xy=0\ ,}

auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf.

Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung {\displaystyle \operatorname {Ai} (x)} wurde von Harold Jeffreys eingeführt.

Definition

Airy plot.svg

Für reelle Werte x ist die Airy-Funktion als Parameterintegral definiert:

{\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,{\rm {d}}t\ .}

Eine zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die Airy-Funktion zweiter Art {\mathrm  {Bi}}:

{\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\right)\,{\rm {d}}t\ .}

Eigenschaften

Asymptotisches Verhalten

Für x gegen +\infty lassen sich {\displaystyle \mathrm {Ai} (x)} und {\displaystyle \mathrm {Bi} (x)} mit Hilfe der WKB-Näherung approximieren:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\simeq {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\simeq {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}

Für x gegen -\infty gelten die Beziehungen:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\simeq {\frac {\sin({\frac {2}{3}}(-x)^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,(-x)^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\simeq {\frac {\cos({\frac {2}{3}}(-x)^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,(-x)^{1/4}}}.\end{aligned}}}

Nullstellen

Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse. Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für x\to -\infty zu

{\displaystyle \operatorname {Ai} (x)=0\quad \Rightarrow \quad x\approx -{\bigl (}\textstyle {\frac {3}{2}}\pi (n-{\frac {1}{4}}){\bigr )}^{2/3},\quad n\in \mathbb {N} }
{\displaystyle \operatorname {Bi} (x)=0\quad \Rightarrow \quad x\approx -{\bigl (}\textstyle {\frac {3}{2}}\pi (n-{\frac {3}{4}}){\bigr )}^{2/3},\quad n\in \mathbb {N} }

Spezielle Werte

Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für x=0 die folgenden Werte:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{9}}\cdot \Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{3}}\cdot \Gamma ({\frac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{6}]{3}}\cdot \Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {\sqrt[{6}]{3}}{\Gamma ({\frac {1}{3}})}}.\end{aligned}}}

Hierbei bezeichnet {\displaystyle \Gamma (\cdot )} die Gammafunktion. Es folgt, dass die Wronski-Determinante von {\displaystyle \mathrm {Ai} (x)} und {\displaystyle \mathrm {Bi} (x)} gleich {\displaystyle {\tfrac {1}{\pi }}} ist.

Fourier-Transformierte

Direkt aus der Definition der Airy-Funktion {\displaystyle \operatorname {Ai} (x)} (siehe oben) folgt deren Fourier-Transformierte.

{\displaystyle {\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ \mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} kx}\,dx=\mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} }{3}}(2\pi k)^{3}}\,.}

Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier-Transformation.

Weitere Darstellungen

{\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{3^{2/3}\cdot \Gamma ({\tfrac {2}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {2}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)-{\frac {z}{3^{1/3}\cdot \Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {4}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)}
{\displaystyle \mathrm {Bi} (z)={\frac {1}{3^{1/6}\cdot \Gamma ({\tfrac {2}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {2}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)+{\frac {3^{1/6}\cdot z}{\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {4}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)}
{\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left[I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right]}
{\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right]}
{\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\exp \left(\mathrm {i} \cdot \left(zt+{\frac {t^{3}}{3}}\right)\right)\mathrm {d} t}
{\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{3^{2/3}\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}(n+1)\right)}{n!}}\left(3^{1/3}z\right)^{n}\sin \left({\frac {2(n+1)\pi }{3}}\right)}
{\displaystyle \mathrm {Bi} (z)={\frac {1}{3^{1/6}\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}(n+1)\right)}{n!}}\left(3^{1/3}z\right)^{n}\left|\sin \left({\frac {2(n+1)\pi }{3}}\right)\right|}

Komplexe Argumente

{\displaystyle \mathrm {Ai} (x)} und {\displaystyle \mathrm {Bi} (x)} sind ganze Funktionen. Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen.

{\displaystyle \Re \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]} {\displaystyle \Im \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]} {\displaystyle |\mathrm {Ai} (x+iy)|\,} {\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]\,}
AiryAi Real Surface.png AiryAi Imag Surface.png AiryAi Abs Surface.png AiryAi Arg Surface.png
AiryAi Real Contour.svg AiryAi Imag Contour.svg AiryAi Abs Contour.svg AiryAi Arg Contour.svg


{\displaystyle \Re \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]} {\displaystyle \Im \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]} {\displaystyle |\mathrm {Bi} (x+iy)|\,} {\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]\,}
AiryBi Real Surface.png AiryBi Imag Surface.png AiryBi Abs Surface.png AiryBi Arg Surface.png
AiryBi Real Contour.svg AiryBi Imag Contour.svg AiryBi Abs Contour.svg AiryBi Arg Contour.svg

Verwandte Funktionen

Airy-Zeta-Funktion

Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als

{\displaystyle Z(n)=\sum _{r}{\frac {1}{r^{n}}},}

wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von {\displaystyle \mathrm {Ai} } geht.

Scorersche Funktionen

Funktionsgraphen von {\displaystyle \mathrm {Gi} (x)} und {\displaystyle \mathrm {Hi} (x)}.

Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen {\displaystyle \mathrm {Gi} (x)} und {\displaystyle \mathrm {Hi} (x)} zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lauten

{\displaystyle \mathrm {Gi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t}
{\displaystyle \mathrm {Hi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t}

Sie lassen sich auch durch die Funktionen {\displaystyle \mathrm {Ai} } und {\mathrm  {Bi}} darstellen.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 04.10. 2021