Zeta-Funktion

Ursprünglich war mit Zeta-Funktion oder $\zeta$ -Funktion in der Mathematik die holomorphe komplexe Funktion

$\zeta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}\quad$ , mit $z\in \mathbb {C} ,\,\Re (z)>1$

gemeint. Heute heißt diese genauer riemannsche Zeta-Funktion, zu Ehren von Bernhard Riemann, der um 1850 bedeutende Arbeiten zur Untersuchung dieser Funktion im Komplexen leistete. Als reelle Funktion geht das Studium der Zeta-Funktion auf Leonhard Euler in den 1730er und 1740er Jahren zurück, der unter anderem die Werte der Zeta-Funktion bei positiven geradzahligen Argumenten bestimmte und die Produktformel fand.

Einige Werte sind

$\zeta (1)=\infty$

$\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\zeta (3)=1{,}2020569032...$

$\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

$\zeta (5)=1{,}0369277551...$

$\zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}$

$\zeta (7)=1{,}0083492774...$

$\zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}$

$\zeta (9)=1{,}0020083928...$

Seither wurden viele in Definition oder Eigenschaften ähnliche oder verallgemeinernde Funktionen untersucht, denen dann auch der Name Zeta-Funktion zusammen mit dem ihres Entdeckers gegeben wurde.

Die wichtigsten weiteren Zetafunktionen sind:

Airysche Zeta-Funktion
Artin-Mazursche Zeta-Funktion
Dedekindsche Zeta-Funktion
Epsteinsche Zeta-Funktion
Hasse-Weil-Zetafunktion
Hurwitzsche Zeta-Funktion
Igusa-Zetafuntkion
Ihara-Zetafunktion
Jacobische Zetafunktion
Lefschetzsche Zeta-Funktion
Lerchsche Zeta-Funktion
Ninitsche Zeta-Funktion
Ruelle-Zetafunktion oder Dynamische Zetafunktion
Selbergsche Zeta-Funktion
Weierstraßsche Zeta-Funktion
Primzetafunktion

Ebenfalls mit der riemannschen Zeta-Funktion verwandt, ohne das „Zeta“ im Namen zu tragen, sind die dirichletschen L-Funktionen, die dirichletsche Eta-Funktion $\eta$ und die dirichletsche Beta-Funktion $\beta$ .

Basierend auf einem Artikel in:

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