Elementarsymmetrisches Polynom

In der Mathematik, insbesondere in der kommutativen Algebra, sind die elementarsymmetrischen Polynome Grundbausteine der symmetrischen Polynome in dem Sinn, dass sich letztere stets als Polynom in ersteren ausdrücken lassen und dies auf nur eine Weise.

Zu jeder Anzahl (Symmetriegrad) von Unbestimmten und jedem (Polynom-)Grad $k\leq n$ gibt es genau ein elementarsymmetrisches Polynom.

Definition

Es seien $T,X_{1},\ldots ,X_{n}$ Unbestimmte. Die Koeffizienten von

$(T+X_{1})(T+X_{2})\dotsm (T+X_{n})=T^{n}+\sigma _{1}T^{{n-1}}+\sigma _{2}T^{{n-2}}+\dotsb +\sigma _{n}$

als Polynom in sind symmetrisch in $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ ; sie heißen elementarsymmetrische Polynome. Sie sind explizit angebbar als

$\sigma _{1}=X_{1}+\dotsb +X_{n}$

$\sigma _{2}=X_{1}X_{2}+\dotsb +X_{1}X_{n}+X_{2}X_{3}+\dotsb +X_{2}X_{n}+\dotsb +X_{{n-1}}X_{n}$

$\ldots$

$\sigma _{k}=\sum _{{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n}}X_{{i_{1}}}\dotsm X_{{i_{k}}}$

$\ldots$

$\sigma _{n}=X_{1}\dotsm X_{n}$

Dabei kann man $\sigma _{k}$ auch schreiben als

$\sigma _{k}=\sum _{{S\subseteq \{1,\dotsc ,n\} \atop \#S=k}}\ \prod _{{i\in S}}X_{i}\ .$

Beispiele

Die zwei elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen , sind

$\sigma _{1}=X+Y\qquad$ sowie $\sigma _{2}=X\cdot Y$

In den drei Variablen , , existieren die drei elementarsymmetrischen Polynome

$\sigma _{1}=X+Y+Z\qquad \sigma _{2}=X\cdot Y+X\cdot Z+Y\cdot Z\qquad \sigma _{3}=X\cdot Y\cdot Z$

Eigenschaften

In einem elementarsymmetrischen Polynom haben die Monome einen einheitlichen Grad: es ist ein homogenes Polynom.
Nimmt man den Grad der $S_{n}$ als ersten Index hinzu, dann ist für

	$\sigma _{{2,1}}(X_{1},X_{2})$	$X_{1}$	$X_{2}$
	$\sigma _{{2,2}}(X_{1},X_{2})$		$X_{1}\cdot X_{2}$
Für lassen sich die elementarsymmetrischen Polynome folgendermaßen rekursiv berechnen:
	$\sigma _{{n,1}}(X_{1},\ldots ,X_{n})$	$\sigma _{{n-1,1}}(X_{1},\ldots ,X_{{n-1}})$	$X_{n}$
	$\sigma _{{n,k}}(X_{1},\ldots ,X_{n})$	$\sigma _{{n-1,k}}(X_{1},\ldots ,X_{{n-1}})$	$\sigma _{{n-1,k-1}}(X_{1},\ldots ,X_{{n-1}})\cdot X_{n}$	$(k\in \{2,\dotsc ,n-1\})$
	$\sigma _{{n,n}}(X_{1},\ldots ,X_{n})$		$\sigma _{{n-1,n-1}}(X_{1},\ldots ,X_{{n-1}})\cdot X_{n}$

Das elementarsymmetrische Polynom $\sigma _{{n,k}}$ vom Symmetriegrad $n\in \mathbb {N}$ und Polynomgrad $k\in \{1,\dotsc ,n\}$ enthält ${\binom {n}{k}}$ Monome.

Hauptsatz der elementarsymmetrischen Polynome:

$A[X_{1},\dotsc ,X_{n}]^{{S_{n}}}=A[\sigma _{1},\dotsc ,\sigma _{n}]$

In Worten: Jedes symmetrische Polynom lässt sich als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben. Der Satz stammt von Joseph-Louis Lagrange, war aber schon Isaac Newton bekannt.

Genauer gilt sogar, dass diese Darstellung eindeutig ist, denn:

Die elementarsymmetrischen Polynome sind algebraisch unabhängig.

das heißt: Es gibt keine zwei verschiedene Polynome $P_{1},\,P_{2}$ in den Variablen $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ , für die gilt: $P_{1}(\sigma _{1},\dotsc ,\sigma _{n})=P_{2}(\sigma _{1},\dotsc ,\sigma _{n})$

Es seien ein Integritätsbereich,

$p(T)=T^{n}+a_{1}T^{{n-1}}+a_{2}T^{{n-2}}+\dotsb +a_{n}$

ein Polynom mit Koeffizienten in und $x_1,\dotsc,x_n$ die (mit Vielfachheit gezählten) Nullstellen von in einem algebraischen Abschluss des Quotientenkörpers von . Dann gilt nach dem Wurzelsatz von Vieta:

$a_{1}=-(x_{1}+\dotsb +x_{n})$

$a_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\dotsb +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\dotsb +x_{{n-1}}x_{n}$

$\ldots$

$a_{k}=(-1)^{k}\cdot \sigma _{k}(x_{1},\dotsc ,x_{n})$

$\ldots$

$a_{n}=(-1)^{n}x_{1}\dotsm x_{n}.$

Berechnung

Bei Zahlwerten (anstelle von Unbestimmten) gestaltet sich die Rechnung besonders einfach – statt mit $2^{n}$ Monomen bestehend aus Produkten mit bis zu Faktoren hat man nur ${\binom {n}2}$ Multiplikationen.

Mit dem folgenden Programm lassen sich die Koeffizienten s_k des Polynoms

$p(T)=T^{n}+\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}s_{k}\,T^{n-k}$

aus den Nullstellen $x_{k}$ des Polynoms

$p(T)=\prod _{k=1}^{n}(T-x_{k})$

berechnen:

// Umwandlung von Nullstellen in Koeffizienten:
double x[]; // bei Eingabe: n Zahlen für die Nullstellen   x[1, ... ,n]
            // bei Ausgabe: n Zahlen für die Koeffizienten s[1, ... ,n]
for (m=2; m≤n; ++m) {      // leere Schleife, wenn n ≤ 1
  y = x[m];
  x[m] *= x[m-1];          // 
  for (k=m-1; k≥2; --k) {  // leere Schleife, wenn m ≤ 2
    x[k] += x[k-1]*y;      // 
  }
  x[1] += y;               // 
}

Beispiele

$X_{1}^{2}+\dotsb +X_{n}^{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}$
$X_{1}^{3}+\dotsb +X_{n}^{3}=\sigma _{1}^{3}-3\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3}.$ Allgemein sind die Potenzsummen mit den elementarsymmetrischen Polynomen durch die Newton-Identitäten verbunden.
Das Polynom

$\Delta (X_{1},\dotsc ,X_{n})=\prod _{{i<j}}(X_{i}-X_{j})^{2}=(-1)^{{n(n-1)/2}}\prod _{{i\neq j}}(X_{i}-X_{j})$

ist symmetrisch in $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ , also kann man es als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben. Ist nun

$p(T)=T^{n}+a_{1}T^{{n-1}}+a_{2}T^{{n-2}}+\dotsb +a_{n}$

ein Polynom mit Nullstellen $x_1,\dotsc,x_n$ wie oben und setzt man diese in $\Delta$ ein, so entsprechen die elementarsymmetrischen Ausdrücke bis auf die Vorzeichen den Koeffizienten $a_{i}$ , d.h., $\Delta (x_{1},\dotsc ,x_{n})$ ist ein nur von abhängendes Polynom in den Koeffizienten $a_{1},\dotsc ,a_{n}$ . Bis auf Definitionsvarianten beim Vorzeichen ist dieses Polynom die Diskriminante von .

Literatur

Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6.
Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 3. Auflage. Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4.

Basierend auf einem Artikel in:

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