Diskriminante

Die Diskriminante (lat. discriminare = unterscheiden) ist ein Rechenausdruck, der Aussagen über Zahl und Art der Lösungen einer algebraischen Gleichung ermöglicht. Am bekanntesten ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung.

Diskriminante einer quadratischen Gleichung

Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung a x^2 + b x + c = 0 mit reellen Koeffizienten a, b und c lassen sich mit der Mitternachtsformel

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}

berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der Wurzel, dem sogenannten Radikand, ab.

Dieser Ausdruck

b^2 - 4 a c

heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung a x^2 + b x + c = 0 und werde im Folgenden mit D bezeichnet.

Motivation des allgemeinen Diskriminanten-Begriffs

Es sei p_n=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+a_1x+a_0\in\R[x] ein Polynom mit den Nullstellen  x_1,x_2,\dotsc,x_n, von denen einige möglicherweise komplex sind. Der Ausdruck

(x_1-x_2)(x_1-x_3)\dotsm(x_2-x_3)(x_2-x_4)\dotsm(x_3-x_4)\dotsm(x_{n-1}-x_n)=\prod_{i<j}(x_i-x_j),

der aus \tbinom n 2 Faktoren besteht (ein Faktor für jedes Nullstellenpaar), verschwindet genau dann, wenn (mindestens) eine Nullstelle mehrfach auftritt. Der Ausdruck ist nicht symmetrisch in den Nullstellen, d.h. dass sich sein Wert möglicherweise verändert, wenn man die Nullstellen umnummeriert. Die Symmetrie kann man erzwingen, indem man alle Faktoren quadriert:

D_n=a_n^{2n-2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2\dotsm(x_2-x_3)^2(x_2-x_4)^2\dotsm(x_3-x_4)^2\dotsm(x_{n-1}-x_n)^2.

Dieser Ausdruck D_n ist ein homogenes symmetrisches Polynom vom Grad n(n-1). Man nennt ihn die Diskriminante des Polynoms p_n. (Die Bedeutung des Normierungstermes a_n^{2n-2} wird weiter unten erläutert.)

Beispiele

Quadratisches Polynom

Ein allgemeines Polynom vom Grad 2 hat die Form p_2=ax^2+bx+c mit a\neq0. Seine Diskriminante ist D_2=a^2(x_1-x_2)^2=a^2(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2).

Mit dem Satz von Vieta und quadratischer Ergänzung lässt sie sich umformen in: D_2=a^2\left((x_1+x_2)^2-4x_1x_2\right)=a^2\left(\left(\frac{-b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}\right)=b^2-4ac.

Das quadratische Polynom p_2 hat also genau dann eine doppelte Nullstelle, wenn b^2-4ac=0 gilt.

Kubisches Polynom

Ein allgemeines Polynom vom Grad 3 hat die Form p_3=ax^3+bx^2+cx+d mit a\neq 0. Seine Diskriminante ist D_3=a^4(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2.

Mit dem Satz von Vieta lässt sie sich (mit aufwendiger Rechnung) umformen in

D_3=b^2c^2-4ac^3-4b^3d+18abcd-27a^2d^2.

Dieser Ausdruck ist unhandlich und lässt sich schwer merken. Berücksichtigt man, dass sich jede kubische Gleichung ax^3+bx^2+cx+d=0 nach Division durch a und anschließender Substitution y=x+\tfrac{b}{3a} auf eine Gleichung der Form y^3+3py+2q=0 bringen lässt, so erhält man eine besser merkbare Formel für die Diskriminante: D_3=-108a^4(p^3+q^2).

Ein reduziertes kubisches Polynom p_3=y^3+3py+2q besitzt also genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn p^3+q^2=0 gilt. In Schulbüchern wird häufig dieser Ausdruck als Diskriminante bezeichnet, der Faktor -108a^4 wird also ignoriert.

Polynome höheren Grades

Das oben beschriebene Verfahren funktioniert für Polynome beliebigen Grades. Aus der Theorie der symmetrischen Funktionen und dem Satz von Vieta folgt, dass der Ausdruck

D_n=a_n^{2n-2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2\dotsm(x_2-x_3)^2(x_2-x_4)^2\dotsm(x_3-x_4)^2\dotsm(x_{n-1}-x_n)^2

stets auf eine eindeutige Art als (polynomiale) Funktion der Koeffizienten des Polynoms p_n dargestellt werden kann.

Bemerkungen zum Vorzeichen der Diskriminante

Normierungsfaktor

In der oben verwendeten Definition tritt der Faktor a_n^{2n-2} auf. Er bewirkt, dass beim Verwenden des Satzes von Vieta die Nenner verschwinden, dass also die Diskriminante als Polynom in den Koeffizienten a_0,a_1,\dotsc,a_n erscheint. Je nach Kontext und Verwendungszweck der Diskriminante wird die Definition leicht abgeändert:

Bei den ersten drei Varianten ist Vorsicht geboten mit Aussagen, wie sie im Abschnitt “Bemerkungen zum Vorzeichen der Diskriminante” gemacht werden.

Allgemeine Definition

Sei f=f_0+f_1X+\dotsb+f_nX^n\in R[X] ein univariates Polynom (also ein Polynom in einer Unbekannten) über einem kommutativen unitären Ring. Die Diskriminante von f ist definiert als die um f_n reduzierte Resultante von f mit seiner Ableitung f':

f_n\operatorname{Disk}(f)=(-1)^{n(n-1)/2}\operatorname{Res}(f,f').

Die Diskriminante wird auch mit dem Symbol \Delta (f) bezeichnet.

Ist R=K ein Körper und f_n=1, so gilt wie oben

\operatorname{Disk}(f)=\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2;

dabei seien x_1,\dotsc,x_n die Nullstellen von f in einem algebraischen Abschluss von K.

Hinweis: Oft wird die Diskriminante ohne den zusätzlichen Faktor (-1)^{n(n-1)/2} definiert; der entsprechende Vorfaktor ist dann in der oben angegebenen Formel zur Berechnung der Diskriminante aus den Nullstellen zu ergänzen.

Bemerkung

Ausgeschrieben ist die Resultante eines Polynoms f(x)=f_0+f_1 x +\dotsb+ f_n x^n mit seiner Ableitung f'(x)=f_1 +\dotsb+ nf_n x^{n-1} gleich der Determinante der (2n-1)\times (2n-1)-Matrix.


\begin{pmatrix}
f_{n} & f_{n-1} & \cdots & f_{1} & f_0 & 0 & \cdots & 0 \\
  0 & f_{n} & f_{n-1} & \cdots & f_{1} & f_0 & \cdots & 0 \\
 \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots &  0\\
  0 & 0 &  0 & f_{n} & f_{n-1} & \cdots & f_{1} & f_0 \\
n f_n & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 & 0 & 0 & \cdots& 0\\
  0 & n f_n & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 & 0 & \cdots &  0\\
  \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\
  0 & 0 & 0 & n f_n & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & n f_{n} & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 \\
\end{pmatrix}
.

Da die erste Spalte aus Vielfachen von f_n besteht, kann dieses als Faktor von der Determinante abgespalten werden.

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 25.08. 2018