Länge (Algebra)
Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.
Definition
Es sei
ein Modul
über einem Ring
.
Die Länge von
ist das Supremum
der Längen
von Ketten von Untermoduln der Form
Die Länge wird oft mit
oder
bezeichnet.
Eigenschaften
- Nur der Nullmodul hat Länge 0.
- Ein Modul ist genau dann einfach, wenn seine Länge 1 ist.
- Ein Modul hat genau dann endliche Länge, wenn er artinsch und noethersch ist.
- Die Länge ist additiv auf kurzen exakten Folgen: Ist
-
- exakt, so ist
; sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.
- Eine Kompositionsreihe ist eine Kette von Untermodulen, die einfache Subquotienten besitzt. Die Länge jeder Kompositionsreihe ist gleich der Länge des Moduls.
Beispiele
- Vektorräume haben genau dann endliche Länge, wenn sie endlichdimensional sind; in diesem Fall ist ihre Länge gleich ihrer Dimension.
- Der
-Modul
hat unendliche Länge: Für jede natürliche Zahl
ist
-
- eine Kette von Untermoduln der Länge
.



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 20.10. 2021