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Länge (Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.

Definition

Es sei M ein Modul über einem Ring A. Die Länge von M ist das Supremum der Längen n von Ketten von Untermoduln der Form

{\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq N_{2}\subsetneq \dotsb \subsetneq N_{n}=M.}

Die Länge wird oft mit {\displaystyle \ell _{A}(M)} oder {\displaystyle \ell (M)} bezeichnet.

Eigenschaften

{\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}
exakt, so ist {\displaystyle \ell (M)=\ell (M')+\ell (M'')}; sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.

Beispiele

{\displaystyle 0\subset 2^{n}\mathbb {Z} \subset 2^{n-1}\mathbb {Z} \subset \dotsb \subset \mathbb {Z} }
eine Kette von Untermoduln der Länge n+1.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 20.10. 2021