Schraubung

Anschaulich gesehen dreht eine Schraubung ein Objekt um eine Drehachse um einen festen Winkel und verschiebt das Resultat parallel zur Drehachse.

Unter einer Schraubung versteht man in der Geometrie des dreidimensionalen Raumes V eine Abbildung, die aus einer Hintereinanderausführung einer Parallelverschiebung mit Verschiebevektor und einer Drehung um eine Gerade besteht, bei der parallel zu ist.

In der Kristallographie sind Schraubenachsen mögliche Symmetrieelemente einer Raumgruppe.

Eine Schraubung stellt eine Isometrie auf V dar, da sie eine Verknüpfung zweier Isometrien ist. Schraubungen spielen besonders in der diskreten Geometrie eine Rolle, etwa bei der Klassifizierung der Isometrien in Dimension 3. Isometrien in dreidimensionalen Vektorräumen lassen sich nach geometrischen Gesichtspunkten in 7 Typen unterteilen. Neben der Schraubung findet man:

Schraubenachsen als Element einer Raumgruppe

Spiralförmige Kette aus Telluratomen entlang der 3₁-Schraubenachse (blau hervorgehoben). Jedes dritte Atom ist deckungsgleich (blau hervorgehoben). Der Abstand zwischen den dunkel-, mittel- und hellblauen Atomen beträgt jeweils eine Gitterkonstante.

In einer Raumgruppe können nur Schraubenachsen vorkommen, die mit dem Translationsgitter der Gruppe verträglich sind. Daher kann es in einer Raumgruppe nur n-zählige Drehachsen geben, mit n = 2, 3, 4 oder 6. Da diese nach n-maliger Wiederholung wieder die Identität ergeben, können sie nur mit einem Translationsvektor verknüpft sein, der nach n-facher Wiederholung einem Vektor des Gitters entspricht. Das ist nur der Fall, wenn dessen Länge ein m-faches des n-ten Bruchteils der Gittertranslation in Richtung der Drehachse beträgt. Das Hermann-Mauguin-Symbol für diese Schraubenachsen ist ein tiefgestelltes m hinter dem Symbol für die Drehachse n.

4₁bedeutet also eine 4-zählige Schraubenachse, bei der bei jeder Drehung um 90° eine Translation in Richtung der Drehachse von ¼ Gitterkonstanten hinzukommt. Im Folgenden sind alle in den 230 Raumgruppen vorkommenden Schraubenachsen aufgeführt.

2₁
(3₁ 3₂)
(4₁ 4₃) 4₂
(6₁ 6₅) (6₂ 6₄) 6₃

In Klammern zusammengefasst sind dabei Paare enantiomorpher Schraubenachsen. Diese Schraubenachsen unterscheiden sich nur durch den Drehsinn. Die erstgenannte Schraube ist eine Rechts-, die zweite die entsprechende Linksschraube. Diese beiden Symmetrieelemente sind besonders schwer voneinander zu unterscheiden.

Schraubung von Starrkörpern

Der florentiner Mathematiker Giulio Mozzi (1730–1813) erkannte als erster, dass jede Bewegung eines Starrkörpers als Schraubung dargestellt werden kann, d.h. als Translation eines Bezugspunkts und Drehung um den Bezugspunkt mit einer Drehachse, die durch die Geschwindigkeit des Bezugspunkts gegeben ist.

Der Bezugspunkt ${\vec {r}}$ ermittelt sich wie folgt aus der Bewegung des Starrkörpers, die sich immer darstellen lässt als Translation eines Punkts ${\vec {b}}$ und die Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}$ des Starrkörpers um diesen Punkt:

${\vec {v}}({\vec {p}},t)={\dot {\vec {b}}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {p}}-{\vec {b}})$

Darin ist ${\vec {v}}$ zur Zeit t die Geschwindigkeit des Partikels am Ort ${\vec {p}}$ , der Überpunkt eine Zeitableitung und „×“ das Kreuzprodukt. Dann ist auch

${\vec {v}}({\vec {p}},t)={\dot {\vec {r}}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})$

mit

${\begin{aligned}{\vec {r}}=&{\vec {b}}+{\frac {{\vec {\omega }}\times {\dot {\vec {b}}}}{{\vec {\omega }}\cdot {\vec {\omega }}}}+\rho {\vec {\omega }}\\{\dot {\vec {r}}}=&{\dot {\vec {b}}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {r}}-{\vec {b}})={\frac {{\vec {\omega }}\cdot {\dot {\vec {b}}}}{{\vec {\omega }}\cdot {\vec {\omega }}}}{\vec {\omega }}\end{aligned}}$

und beliebigem $\rho \in \mathbb {R}$ . Das Rechenzeichen „·“ bildet das Skalarprodukt.

Literatur

D. Schwarzenbach: Kristallographie. Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67114-5.
Roberto Marcolongo: Theoretische Mechanik. Kinematik und Statik. 1. Band. B. G. Teubner, Leipzig und Berlin 1911.

Basierend auf einem Artikel in:

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