Satz von Qvist

Satz von Qvist über endliche Ovale

Der Satz von Qvist, benannt nach dem finnischen Mathematiker Bertil Qvist, macht eine Aussage über Ovale in einer endlichen projektiven Ebene. Standardbeispiele von Ovalen sind die nicht ausgearteten (projektiven) Kegelschnitte. Der Satz gibt an, wie viele Tangenten an ein vorgegebenes Oval durch einen gegebenen Punkt gehen können. Die Antwort hängt wesentlich davon ab, ob die Ordnung (Anzahl der Punkte auf einer Gerade -1) der projektiven Ebene gerade oder ungerade ist. Der Satz bietet im pappusschen Fall gerader Ordnung über den Begriff Hyperoval eine einfache Möglichkeit, Ovale anzugeben, die keine Kegelschnitte sind. (Im pappusschen Fall ungerader Ordnung sind alle Ovale schon Kegelschnitte (Satz von Segre).)

Definition eines Ovals

Hauptartikel: Oval (Projektive Geometrie)
(1) Eine beliebige Gerade g trifft {\displaystyle {\mathfrak {o}}} in höchstens 2 Punkten.
Falls {\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=0} ist, heißt g Passante, falls {\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=1} ist, heißt g Tangente und falls {\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=2} ist, heißt g Sekante.
(2) Zu jedem Punkt {\displaystyle P\in {\mathfrak {o}}} gibt es genau eine Tangente t, d.h. {\displaystyle t\cap {\mathfrak {o}}=\{P\}}.

Für endliche projektive Ebenen (d.h. die Punktmenge und Geradenmenge sind endlich) gilt

Aussage und Beweis des Satzes von Qvist

Satz von Qvist
 

{\displaystyle {\mathfrak {o}}} sei ein Oval in einer endlichen projektiven Ebene der Ordnung n.

(a) Falls n ungerade ist, gilt:
Jeder Punkt {\displaystyle P\notin {\mathfrak {o}}} inzidiert mit {\displaystyle 0} oder 2 Tangenten.
(b) Falls n gerade ist, gilt:
Es gibt einen Punkt N, den Nukleus oder Knoten, so, dass die Menge der Tangenten an {\displaystyle {\mathfrak {o}}} gleich dem Geradenbüschel von N ist.
Satz von Qvist: Zum Beweis im Fall n ungerade
Satz von Qvist: zum Beweis im Fall n gerade
Beweis
 

(a) Es sei {\displaystyle P\in {\mathfrak {o}}} und t_{0} die Tangente in P_{0} und {\displaystyle t_{0}=\{P_{0},P_{1},...,P_{n}\}}. Die Geraden durch {\displaystyle P_{i},i\neq 0} zerlegen {\displaystyle {\mathfrak {o}}} in Teilmengen der Mächtigkeit 2 oder 1 oder 0. Da {\displaystyle |{\mathfrak {o}}|=n+1} gerade ist, gibt es durch jeden Punkt {\displaystyle P_{i},i\neq 0} eine weitere Tangente t_{i}. Die Anzahl der Tangenten ist n+1. Also gehen durch {\displaystyle P_{i},i\neq 0,\;} genau zwei Tangenten, nämlich t_{0} und {\displaystyle t_{i}}.

(b) Es sei s eine Sekante, {\displaystyle s\cap {\mathfrak {o}}=\{P_{0},P_{1}\}} und {\displaystyle s=\{P_{0},P_{1},...,P_{n}\}}. Da {\displaystyle |{\mathfrak {o}}|=n+1} ungerade ist, muss es durch P_{i} für {\displaystyle i=2,...,n} wenigstens eine Tangente t_{i} geben. Die Anzahl der Tangenten ist n+1. Also geht durch jeden Punkt P_{i} für {\displaystyle i=2,...,n} genau eine Tangente. Ist N der Schnittpunkt zweier Tangenten, so kann N mit keiner Sekanten inzidieren. Wegen {\displaystyle |{\mathfrak {o}}|=n+1} ist jede Gerade durch den Punkt N eine Tangente.

Beispiel pappussche Ebene gerader Ordnung
 

In inhomogenen Koordinaten über einem Körper {\displaystyle K,|K|=n} gerade, ist

{\displaystyle {\mathfrak {o}}_{1}=\{(x,y)\;|\;y=x^{2}\}\;\cup \{(\infty )\}}

(projektiver Abschluss der Normparabel) ein Oval mit dem Fernpunkt {\displaystyle N=(0)} als Nukleus (s. Bild unten), d.h. jede Gerade {\displaystyle y=c,\;c\in K\;,} ist Tangente. (Das Quadrieren ist im geraden Fall eine Bijektion !)

Definition und Eigenschaft eines Hyperovals

Man nennt die Punktmenge {\displaystyle {\mathfrak {\bar {o}}}:={\mathfrak {o}}\cup \{N\}} ein Hyperoval oder (n+2)-Bogen. (Ein endliches Oval ist ein (n+1)-Bogen).

Eine wesentliche Eigenschaft eines Hyperovals ist

projektiver Kegelschnitt {\displaystyle {\mathfrak {o}}_{1}}

Diese Eigenschaft bietet eine einfache Möglichkeit zu einem Oval weitere Ovale anzugeben.

Beispiel
 

In der projektiven Ebene über dem Körper {\displaystyle K,|K|=n} gerade und n>4, ist

{\displaystyle {\mathfrak {o}}_{1}=\{(x,y)\;|\;y=x^{2}\}\;\cup \{(\infty )\}} ein Oval (Kegelschnitt) (s. Bild),
{\displaystyle {\mathfrak {\bar {o}}}_{1}=\{(x,y)\;|\;y=x^{2}\}\;\cup \{(0),(\infty )\}} ein Hyperoval und
{\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2}=\{(x,y)\;|\;y=x^{2}\}\;\cup \{(0)\}} ein weiteres Oval, das kein Kegelschnitt ist. (Ein Kegelschnitt ist durch 5 Punkte eindeutig bestimmt !)

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 22.10. 2021