Äquidistanz (Geometrie)
Äquidistanz bezeichnet in der Geometrie die Eigenschaft von Punkten (der Ebene oder des Raums), die von zwei vorgegebenen geometrischen Objekten wie Punkten, Kurven oder Flächen den gleichen Abstand besitzen.
Dabei gilt:
- (PP) Der Abstand eines Punktes zu einem Punkt ist der euklidische Abstand .
- (PC) Der Abstand eines Punktes zu einer Kurve ist der kürzeste euklidische Abstand von zu Punkten der Kurve . Bei glatten Kurven ist dies die Länge des kürzesten Lotes von auf die Kurve oder der Abstand zu einem Randpunkt.
- Analog ist der Abstand zu einer Fläche definiert.
Beispiele:
a) Jeder Punkt der Mittelsenkrechten
einer Strecke besitzt den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten der Strecke.
b) Jeder Punkt der Winkelhalbierenden
zweier sich schneidenden Geraden hat den gleichen Abstand zu den beiden Geraden.
c) Jeder Punkt einer Parabel
hat den gleichen Abstand zum Brennpunkt und zur Leitlinie.
d) Jeder Punkt
einer Ellipse hat den gleichen
Abstand zu einem Brennpunkt und zu einem Leitkreis.
e) Jeder Punkt einer
Hyperbel
hat den gleichen Abstand zu einem Brennpunkt und zu einem Leitkreis.
In der englischen Literatur werden Äquidistanz-Kurven/Flächen als bisector curves/surfaces bezeichnet.
Äquidistanz-Kurven und -Flächen sollte man nicht verwechseln mit Parallelkurven/-Flächen. Bei letzteren haben alle Punkte den gleichen Abstand zu einer Kurve/Fläche.
Mathematische Beschreibung
Die nächstliegende Beschreibung einer Äquidistanz-Kurve verwendet die
Distanzfunktion. In den
obigen Beispielen ist die Distanzfunktion einfach:
1) Abstand zweier Punkte
im :
.
2) Abstand eines Punktes von einer Gerade: s. HESSE-Normalform.
3) Abstand eines Punktes
von einem Kreis mit Mittelpunkt
und Radius :
.
In allen anderen Fällen kann man keine einfache Beschreibung der Distanzfunktion und damit der Äquidistanz-Kurven/-Flächen angeben. In der Literatur werden Sonderfälle untersucht, bei denen die Äquidistanz-Kurven wenigstens durch rationale Funktionen beschrieben werden können. Wenn man auf numerische Verfahren angewiesen ist, ist es am Einfachsten eine Äquidistanz-Kurve als implizite Kurve bzw. implizite Fläche mit Hilfe von Distanzfunktionen zu beschreiben. Dabei verwendet man gegebenenfalls auch orientierte Distanzfunktionen, die die Seiten einer Kurve (in der Ebene) oder Fläche mit Hilfe des Vorzeichens unterscheiden.
Ebenes Beispiel: Es seien die Distanzfunktionen zweier Bézierkurven . Ein Punkt der zugehörigen Äquidistanz-Kurve genügt dann der Gleichung . Also ist
eine implizite Darstellung der Äquidistanz-Kurve. Um Punkte dieser impliziten Kurve berechnen zu können, muss man die Distanzfunktionen numerisch auswerten können. Geeignete Algorithmen hierfür werden in der Literatur zur Verfügung gestellt.
In analoger Weise beschreibt man auch im Raum Äquidistanz-Flächen. Die daran beteiligten Objekte können sowohl Punkte als auch Kurven und Flächen sein.
Beispiele im Raum:
1) Für die windschiefen
Geraden
ergibt sich als implizite Darstellung der Äquidistanz-Fläche zunächst .
Nach Beseitigen der Wurzeln lässt sich die Fläche durch die Gleichung
beschreiben. Sie ist also ein hyperbolisches
Paraboloid (s. Bild).
2) Das nächste Bild zeigt die Äquidistanz-Fläche zu
der Gerade
und der Helix
(Schraublinie) .
3) Das letzte Bild zeigt die Äquidistanzfläche zu einer Bezierkurve und einer
Bezierfläche.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 15.09. 2021