Trägheitssatz von Sylvester

Der Trägheitssatz von Sylvester oder sylvesterscher Trägheitssatz, benannt nach James Joseph Sylvester, ist ein Resultat aus der linearen Algebra. Dieser Satz macht eine Aussage über Invarianten darstellender Matrizen von symmetrischen Bilinearformen beziehungsweise hermitescher Sesquilinearformen und liefert damit die Grundlagen zur Definition der Signatur.

Aussage des Satzes

Sei ein endlichdimensionaler $\mathbb {C}$ -Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform $s\colon V\times V\rightarrow \mathbb{C}$ . Der Ausartungsraum $V_{0}$ von ist definiert als

$V_{0}:=\{v\in V:s(v,w)=0\ \forall w\in V\}$ .

Der sylvestersche Trägheitssatz besagt nun, dass eine direkte Summe

$V=V_{+}\oplus V_{-}\oplus V_{0}$

mit

für alle $v\in V_{+}\setminus \{0\}\ {\text{und}}\qquad s(v,v)<0$ für alle $v\in V_{-}\setminus \{0\}$

existiert.

Insbesondere existiert also eine Basis von , so dass die Darstellungsmatrix der hermiteschen Sesquilinearform die Diagonalgestalt

$A:={\begin{pmatrix}1&0&0&0&\ldots &0&0&\ldots &0\\0&\ddots &0&&&&&&\vdots \\0&0&1&0&&&&&0\\0&&0&-1&0&&&&0\\\vdots &&&0&\ddots &0&&&\vdots \\0&&&&0&-1&0&&0\\0&&&&&0&0&0&0\\\vdots &&&&&&0&\ddots &0\\0&\ldots &0&0&\ldots &0&0&0&0\end{pmatrix}}$

hat. Diese Darstellungsmatrix hat auf der Hauptdiagonalen die Einträge , und $0$ , alle anderen Koeffizienten sind $0$ .

Bemerkungen

Seien $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ eine symmetrische Matrix und $S\in GL(n,\mathbb{R} )$ eine invertierbare Matrix. So folgt aus dem Satz, dass und $S^{T}AS$ mit Vielfachheit gezählt die gleichen Anzahlen positiver und negativer Eigenwerte haben. Dies ist nicht trivial, denn die Eigenwerte einer quadratischen Matrix sind im Allgemeinen nur unter der Transformation $SAS^{{-1}}$ invariant, nicht jedoch unter $S^{T}AS$ .
Der Trägheitssatz ist für hermitesche Bilinearformen nicht gültig.

Signatur

→ Hauptartikel: Signatur (lineare Algebra)

Die Räume $V_{+}$ , $V_{-}$ und $V_{0}$ seien wie im ersten Abschnitt definiert. Dann folgt aus dem Trägheitssatz, dass die Zahlen

${\begin{aligned}r_{+}(s)&:=\dim(V_{+}),\\r_{-}(s)&:=\dim(V_{-})\ {\text{und}}\\r_{0}(s)&:=\dim(V_{0})\end{aligned}}$

Invarianten der hermiteschen Sesquilinearform $s\colon V\times V\rightarrow \mathbb{C}$ sind. Insbesondere ist

$r_{+}(s)=\max\{\dim(W):W\subseteq V\ {\mathrm {Untervektorraum\ und}}\ s(w,w)>0\ \forall w\in W\setminus \{0\}\}$ .

Die analoge Aussage gilt auch für $r_{-}(s)$ . Außerdem folgt aus der direkten Zerlegung die Gleichheit

$r_{+}(s)+r_{-}(s)+r_{0}(s)=\dim(V)$ .

Das Tripel $\sigma (s)=\left(r_{+}(s),r_{-}(s),r_{0}(s)\right)$ heißt Trägheitsindex oder (Sylvester-)Signatur von .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de