Kettenkomplex

Ein (Ko-)Kettenkomplex in der Mathematik ist eine Folge von abelschen Gruppen oder -Moduln oder – noch allgemeiner – Objekten in einer abelschen Kategorie, die durch Abbildungen kettenartig verknüpft sind.

Definition

Kettenkomplex

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

$\,C_{n},\,n\in {\mathbb {Z}}$

von -Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

$d_{n}:C_{n}\rightarrow C_{{n-1}}$

von -Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

$\,d_{n}\circ d_{n+1}=0$

für alle n gilt. Der Operator ${\mathrm {d}}_{n}$ heißt Randoperator. Elemente von $C_{n}$ heißen n-Ketten. Elemente von

$Z_{n}(C,d):=\ker d_{n}\subseteq C_{n}$ bzw. $B_{n}(C,d):={\mathop {{\mathrm {im}}}}d_{{n+1}}\subseteq C_{n}$

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung $\,d_{n}d_{{n+1}}=0$ ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

$\,H_{n}(C,d):=Z_{n}(C,d)/B_{n}(C,d)$

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von $\,(C,d)$ , ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

Kokettenkomplex

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

$C^{n},\,n\in {\mathbb {Z}}$

von -Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

$\,d^{n}:C^{n}\rightarrow C^{{n+1}}$

von -Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

$\,d^{n}d^{{n-1}}=0$

für alle n gilt. Elemente von $\,C^{n}$ heißen n-Koketten. Elemente von

$\,Z^{n}:=\ker d^{n}\subseteq C^{n}$ bzw. $B^{n}:=\operatorname {im}d^{{n-1}}\subseteq C^{n}$

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung $\,d^{n}d^{{n-1}}=0$ ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

$\,H^{n}(C,d):=Z^{n}(C,d)/B^{n}(C,d)$

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von $\,(C,d)$ , ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

Doppelkomplex

Ein Doppelkomplex

Ein Doppelkomplex $D_{**}$ in der abelschen Kategorie A ist im Wesentlichen ein Kettenkomplex in der abelschen Kategorie der Kettenkomplexe in A. Etwas genauer besteht $D_{**}$ aus Objekten

$D_{p,q}\in \operatorname {ob} A\,,\quad p,q\in \mathbb {Z}$

zusammen mit Morphismen

$D_{p,q}{\xrightarrow {d}}D_{p-1,q}$ und $D_{p,q}{\xrightarrow {d'}}D_{p,q-1}\quad \forall \,p,q\in \mathbb {Z}$

die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

$d\circ d=0\quad d'\circ d'=0\quad d\circ d'+d'\circ d=0\,.$

Der Totalkomplex $\operatorname {Tot} (D)_{*}$ des Doppelkomplex $D_{**}$ ist der Kettenkomplex gegeben durch

$\operatorname {Tot} (D)_{n}=\bigoplus _{p+q=n}D_{p,q}$

mit der folgenden Randabbildung: für $x\in D_{p,q}$ mit $p+q=n$ ist

$d_{n}(x)=d(x)+d'(x)\in D_{p-1,q}\oplus D_{p,q-1}\subseteq \operatorname {Tot} (D)_{n-1}\,.$

Doppelkomplexe werden unter anderem benötigt, um zu beweisen, dass der Wert von $\operatorname {Tor} _{*}^{R}(M,N)$ nicht davon abhängt, ob man M auflöst oder N.

Eigenschaften

Ein Kettenkomplex $(C_{\bullet },d_{\bullet })$ ist genau dann exakt an der Stelle , wenn $H_{i}(C_{\bullet },d_{\bullet })=0$ ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.

Ein Kettenkomplex heißt azyklisch, wenn alle seine Homologiegruppen verschwinden, er also exakt ist.

Kettenhomomorphismus

Eine Funktion

$f:(A_{\bullet },d_{{A,\bullet }})\to (B_{\bullet },d_{{B,\bullet }})$

heißt (Ko)-Kettenhomomorphismus, oder einfach nur Kettenabbildung, falls sie aus einer Folge von Gruppenhomomorphismen $f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}$ besteht, welche mit dem Randoperator vertauscht. Das heißt für den Kettenhomomorphismus:

$d_{{B,n}}\circ f_{n}=f_{{n-1}}\circ d_{{A,n}}$ .

Für den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend

$d_{B}^{n}\circ f_{{n}}=f_{{n+1}}\circ d_{A}^{n}$ .

Diese Bedingung stellt sicher, dass Zykel auf Zykel und Ränder auf Ränder abbildet.

Kettenkomplexe bilden zusammen mit den Kettenhomomorphismen die Kategorie Ch(MOD R) der Kettenkomplexe.

Euler-Charakteristik

Es sei (C,d) ein Kokettenkomplex aus -Moduln über einem Ring . Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die Euler-Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl

$\chi (C,d)=\sum _{i}(-1)^{i}\dim _{K}\mathrm {H} ^{i}(C,d)\in \mathbb {Z} .$

Sind auch die einzelnen Komponenten $C^{i}$ endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial, so ist auch

$\chi (C,d)=\sum _{i}(-1)^{i}\dim _{K}C^{i}\in \mathbb {Z} .$

Im Spezialfall eines Komplexes $C^{0}\to C^{1}$ mit nur zwei nichttrivialen Einträgen ist diese Aussage der Rangsatz.

Etwas allgemeiner nennt man einen Kettenkomplex perfekt, wenn nur endlich viele Komponenten $C^{i}$ nichttrivial sind und jede Komponente ein endlich erzeugter projektiver Modul ist. Die Dimension ist dann durch die zugehörige Äquivalenzklasse in der K₀-Gruppe von zu ersetzen und man definiert als Euler-Charakteristik

$\chi (C,d)=\sum _{i}(-1)^{i}[C^{i}]\in K_{0}(R).$

Ist jeder projektive Modul frei, etwa wenn ein Körper oder ein Hauptidealring ist, so kann man von Dimensionen reden und erhält $K_{0}(R)\cong \mathbb {Z}$ mit $[R^{n}]{\mathrel {\hat {=}}}n$ . Dann fällt diese allgemeinere Definition mit der zuerst gegebenen zusammen.

Beispiele

Simplizialkomplex
Der singuläre Kettenkomplex zur Definition der singulären Homologie und der singulären Kohomologie topologischer Räume.
Gruppen(ko)homologie.
Jeder Homomorphismus $f\colon A\to B$ definiert einen Kokettenkomplex

$(C,d)=(\ldots \to 0\to 0\to A\to B\to 0\to 0\to \ldots ).$

Legt man die Indizes so fest, dass sich in Grad 0 und in Grad 1 befindet, so ist

$H^{0}(C,d)=\ker f$ und $H^{1}(C,d)={\mathrm {coker}}\,f.$

Die Euler-Charakteristik

$\dim \ker f-\dim {\mathrm {coker}}\,f$

von

wird in der Theorie der Fredholm-Operatoren der Fredholm-Index von genannt. Dabei bezeichnet ${\mathrm {coker}}\,f$ den Kokern von .

Ein elliptischer Komplex oder ein Dirac-Komplex ist ein Kokettenkomplex, der in der Globalen Analysis von Bedeutung ist. Diese treten zum Beispiel im Zusammenhang mit dem Atiyah-Bott-Fixpunktsatz auf.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de