Additive Funktion

Additive, subadditive und superadditive Funktionen sind mathematische Objekte. Es sind bestimmte Klassen von Funktionen. Lineare Abbildungen sind besondere additive Funktionen.

Definition

Eine Funktion f heißt additiv, wenn sie die Funktionalgleichung

f(x+y)=f(x)+f(y)

erfüllt. Sind Definitions- und Zielbereich abelsche Gruppen, so spricht man auch von \mathbb {Z} -Linearität.

Sub- und Superadditive Funktionen

Ist M eine Halbgruppe mit der Verknüpfung +, so heißt eine Abbildung f\colon M\to {\mathbb  {R}} subadditiv, wenn für alle x und y aus M gilt:

f(x+y)\leq f(x)+f(y).

Die Abbildung heißt superadditiv, wenn für alle x und y aus M gilt:

f(x+y)\geq f(x)+f(y).

Beispiele

Eigenschaften

{\displaystyle f(x_{1}+\dotsb +x_{n})=f(x_{1})+\dotsb +f(x_{n})}
Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

Definition in der Zahlentheorie

Bei zahlentheoretischen Funktionen {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} } betrachtet man als Verknüpfung auf \mathbb {N} die Multiplikation. Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn die Gleichung

f(xy)=f(x)+f(y)

für alle teilerfremden x und y\in \mathbb{N} gilt. Gilt dies sogar für alle x und y, so heißt die Funktion streng additiv.

Eine ähnliche Einschränkung der Additivität (auf disjunkte statt beliebige Vereinigungen) gibt es in der Maßtheorie.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 23.06. 2021