Prozent

Hilfsmaßeinheit
Einheitenname Prozent
Einheitenzeichen \mathrm {\%}
Formelzeichen {\mathit {p}}
Typ Quotient
Definition \mathrm {1\,\%=1\cdot 10^{-2}=0{,}01}
Benannt nach italienisch per cento, „für hundert, vom Hundert“
Siehe auch: Promille, ppm, ppb

Zahlenangaben in Prozent (lat.-ital. von Hundert, Hundertstel) sollen Größenverhältnisse veranschaulichen und vergleichbar machen, indem die Größen zu einem einheitlichen Grundwert (Hundert) ins Verhältnis gesetzt werden. Daher wird das Prozent auch als Hilfsmaßeinheit für Verhältnisgrößen verwendet. Vor allem ältere Gesetzestexte verwenden den Ausdruck „vom Hundert“ (abgekürzt: vH oder v.H.); das DIN empfiehlt jedoch, diesen Ausdruck zu vermeiden.

Prozentangaben werden durch das Prozentzeichen % kenntlich gemacht (zum Beispiel 63,7 %). Laut DIN 5008 wird dabei zwischen die Zahl und das Prozentzeichen ein Leerzeichen gesetzt. Die Prozentrechnung kann dann als Bruchrechnung (19 % = 19/100) oder im Dezimalsystem (19 % = 0,19) durchgeführt werden.

Definition

Das Prozentzeichen lässt sich mathematisch als einstelliger Postfix-Operator definieren, der den davorstehenden Prozentsatz p durch 100 teilt. Er ist durch eine lineare Funktion definiert, die von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen abbildet:

{\begin{matrix}\%:\ &\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&p\mapsto {\frac {p}{100}}\end{matrix}}

Beispiele

Ein Prozent einer Fläche aus 10 × 10 Kästchen entspricht genau einem Kästchen.
1\,\%={\frac {1}{100}}=0{,}01
100\,\%={\frac {100}{100}}=1
75\,\%={\frac {75}{100}}={\frac {3}{4}}=0{,}75
50\,\%={\frac {50}{100}}={\frac {1}{2}}=0{,}5

Begriffe

Prozentangaben beschreiben Größenverhältnisse und beziehen sich dabei auf einen Grundwert G. Der Grundwert ist die Ausgangsgröße, auf die sich der Prozentsatz p % bezieht. Der Prozentfuß p gibt an, wie viele Hundertstel des Grundwertes die Prozentangabe beträgt und bezeichnet so ein Größenverhältnis relativ zum Grundwert. Die absolute Bestimmung dieser Größe nennt man Prozentwert W. Der Prozentwert hat dieselbe Einheit wie der Grundwert. Es gilt

W=p\,\%\cdot G={\frac {p}{100}}\cdot G

Beispiel:

{\displaystyle \underbrace {7{.}350\,\overbrace {\text{Einwohner}} ^{\text{Einheit}}} _{\text{Prozentwert}}{\text{ sind}}\underbrace {\overbrace {\underbrace {49} _{\text{Prozentfuß}}\,{\text{Prozent}}} ^{{\frac {49}{100}}=0{,}49}} _{\text{Prozentsatz}}\,\underbrace {\text{von}} _{\text{mal}}\,\underbrace {15{.}000\,\overbrace {\text{Einwohner}} ^{\text{Einheit}}} _{\text{Grundwert}}.}

Der Begriff Prozentsatz wird in der Literatur unterschiedlich verwendet. Einige Autoren verwenden ihn für den Ausdruck p %, andere verwenden ihn für den Ausdruck p. Einige Autoren verwenden um der besseren Unterscheidung willen die Begriffe Prozentfuß für den Ausdruck p und Prozentsatz für den Ausdruck p %.

Verständnis

Prozentangaben drücken Mengenverhältnisse aus und erfüllen dabei die gleiche Funktion wie die Formulierungen „ein Halbes“ oder „ein Viertel“. Dabei bedeutet „ein Halbes“ das Gleiche wie „50 Prozent“ und „ein Viertel“ das Gleiche wie „25 Prozent“. Prozentangaben können darüber hinaus auch feinere Mengenverhältnisse ausdrücken, zum Beispiel „23 Prozent“, was 23 Hundertstel eines Grundwertes entspricht.

Genau wie „ein Halbes“ oder „ein Viertel“ drückt eine Prozentangabe ein Verhältnis zu einem Grundwert aus: ein Halbes von welchem Grundwert? = 50 Prozent von welchem Grundwert?

Die Bedeutung der Ausdrücke „um“ und „auf“ ist dabei zu unterscheiden:

Vergleicht man Prozentwerte, kann man dies in Prozentpunkten oder in Prozent vom Ausgangsprozentsatz ausdrücken. Beispiel: Das Wahlergebnis einer Partei steigt von 4 % auf 5 %. Die Partei verbessert sich um 1 Prozentpunkt oder um 25 % (auf 125 % des Ausgangsprozentsatzes). Prozentpunkte geben die einfache Differenz zwischen zwei Prozentsätzen an. Wird der Unterschied aber in Prozent (des Ausgangsprozentsatzes) ausgedrückt, dann muss der Ausgangsprozentsatz gedanklich auf 100 % gesetzt werden. Im obigen Beispiel sind 5 % gleich 125 % von 4 %.

Umrechnung zwischen Zahl und Prozentsatz

Prozentsatz in Zahl umrechnen

Das Prozent-Symbol % lässt sich durch seine Entsprechung „\cdot {\tfrac {1}{100}}“ ersetzen. Beispiel:

50 % ist das Gleiche wie 50\cdot {\tfrac {1}{100}}, also {\tfrac {50}{100}} oder als gekürzter Bruch {\tfrac {1}{2}}.

Zahl in Prozentsatz umrechnen

Den Bruch mit 100 % (was das Gleiche wie 1 ist) multiplizieren. Beispiel:

{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {3}{4}}\cdot 100\,\%={\tfrac {3\cdot 100}{4}}\,\%=75\,\%

Berechnung

Es gilt die Grundformel:

{\frac {\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}}={\frac {\text{Prozentfuß}}{\text{100}}}
bzw.
{\text{Grundwert}}\cdot {\text{Prozentfuß}}={\text{Prozentwert}}\cdot {\text{100}}

Daraus ergibt sich:

{\text{Prozentwert}}={\frac {{\text{Grundwert}}\cdot {\text{Prozentfuß}}}{\text{100}}}
{\text{Prozentfuß}}={\frac {{\text{Prozentwert}}\cdot {\text{100}}}{\text{Grundwert}}}
{\text{Grundwert}}={\frac {{\text{Prozentwert}}\cdot {\text{100}}}{\text{Prozentfuß}}}

sowie die als Rechenkontrolle verwendbare Formel:

{\frac {{\text{Grundwert}}\cdot {\text{Prozentfuß}}}{\text{Prozentwert}}}={\text{100}}

Den Prozentsatz erhält man, indem man den Prozentfuß durch 100 teilt:

{\text{Prozentsatz}}={\frac {\text{Prozentfuß}}{100}}={\frac {\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}}

Hierbei sind:

Varianten der Prozentrechnung

Beispiel

42 kg sind 7 %. Wie viel sind (entsprechen) 100 %?
Gegeben sind W (Prozentwert) und p% (Prozentsatz).
Gesucht ist G (Grundwert).

Mit allgemeiner Formel

Mit eigener Verhältnisgleichung (Proportion)

Mit „Was ist 1 %?“ (Dreisatz)

{\frac {p\;\%}{42\;{\text{kg}}}}={\frac {100\;\%}{7\;\%}}

{\frac {p\;\%}{100\;\%}}={\frac {W}{G}}

mehrfaches Umstellen ergibt:

G={\frac {W}{p\;\%}}\cdot {100\;\%}
G={\frac {42\;{\text{kg}}}{7\;\%}}\cdot {100\;\%}=600\;{\text{kg}}
{\frac {G}{42\;{\text{kg}}}}={\frac {100\;\%}{7\;\%}}

einfaches Umstellen ergibt:

G={\frac {42\;{\text{kg}}}{7\;\%}}\cdot {100\;\%}=600\;{\text{kg}}
{\frac {42\;{\text{kg}}:{\color {red}7}}{7\;\%:{\color {red}7}}}={\frac {6\;{\text{kg}}}{1\;\%}}={\frac {6\;{\text{kg}}\cdot {\color {red}100}}{1\;\%\cdot {\color {red}100}}}

ohne Umstellen ergibt der letzte Zähler:

G=6\;{\text{kg}}\cdot 100=600\;{\text{kg}}
Vorteil:
Eine Formel für alle Aufgaben
Vorteil:
- Ohne Formel
- Einfaches Umstellen, wenn die gesuchte Größe – hier G – links oben im Zähler steht.
Vorteil:
- Ohne Formel
- Einfacher Dreisatz – hier als Gleichungskette
- Anwendung beim Kopfrechnen

Beispiele

Umsatzsteuer

Ein alltägliches Beispiel ist die Berechnung der Umsatzsteuer. Diese ist definiert durch den Wert eines Produktes (Nettobetrag) multipliziert mit einem Umsatzsteuersatz, der in Prozent angegeben wird. Der Grundwert dieser Prozentangabe ist also der Nettobetrag. Der Bruttobetrag ist die Summe von Nettobetrag und Umsatzsteuer:

Umsatzsteuer = Nettobetrag ∙ Umsatzsteuersatz
Bruttobetrag = Nettobetrag + Umsatzsteuer

Sind 100 Euro der Nettobetrag und der Umsatzsteuersatz beträgt 19 %, so errechnet man die Umsatzsteuer durch:

100 Euro ∙ 19 % = 100 Euro ∙ 0,19 = 19 Euro

Demzufolge errechnet sich der Bruttobetrag folgendermaßen:

100 Euro + 19 Euro = 119 Euro

Durch Einsetzen in die Formel erhält man:

Bruttobetrag = Nettobetrag + Umsatzsteuer
Bruttobetrag = Nettobetrag + (Nettobetrag ∙ Umsatzsteuersatz)
Bruttobetrag = Nettobetrag ∙ (1 + Umsatzsteuersatz)

Im gegebenen Beispiel mit einem Umsatzsteuersatz von 19 % erhält man

Bruttobetrag = Nettobetrag ∙ (1 + 19 %) = Nettobetrag ∙ (1 + 0,19) = Nettobetrag ∙ 1,19

Durch Umstellung dieser Formel lässt sich aus dem Bruttobetrag der Nettobetrag einfach errechnen durch

{\text{Nettobetrag}}={\frac {\text{Bruttobetrag}}{1+{\text{Umsatzsteuersatz}}}}.

Die im Bruttobetrag enthaltene Umsatzsteuer beträgt

{\text{Umsatzsteuer}}={\text{Bruttobetrag}}-{\text{Nettobetrag}}={\text{Bruttobetrag}}-{\frac {\text{Bruttobetrag}}{1+{\text{Umsatzsteuersatz}}}}.

Sprachgebrauch

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird bei Angaben in Zusammenhang mit Prozenten häufig nicht auf die mathematische Definition geachtet, was die Ursache für Ungenauigkeiten und Fehler ist. Beispiele dafür sind:

bedeutet, dass der Umsatzsteuersatz 19 % beträgt und der Rechnungsbetrag der Bruttobetrag ist, also Nettobetrag plus Umsatzsteuer. Korrekt müsste es daher lauten: „Im Rechnungsbetrag ist die Umsatzsteuer mit einem Umsatzsteuersatz von 19 % enthalten“.
Falsch, sollte eigentlich heißen „der Umsatzsteuersatz beträgt 19 %“.
Falsch (wenn der Umsatzsteuersatz 19 % beträgt), da es sich beim Rechnungsbetrag um den Nettowert plus Umsatzsteuer handelt. Von einem Betrag von beispielsweise 119 Euro sind 19 % gleich 22,61 Euro. Tatsächlich beträgt die enthaltene Umsatzsteuer hier aber 19 Euro und macht rund 15,97 % des Rechnungsbetrages aus.
Da 19 % und 15,97 % nicht weit auseinander liegen, kann die falsche Formulierung zu unbemerkten Fehlern führen. Deshalb noch folgende Beispiele:
Beträgt das Taschengeld nach der Erhöhung insgesamt 15 Euro, so sind 50 % hier gleich 5 Euro. „50 %“ bezieht sich auf den Grundwert 10 Euro. Das ist der Betrag des Taschengeldes vor der Erhöhung.
Beträgt das Taschengeld insgesamt 15 Euro, so sind 50 % hier gleich 7,50 Euro. „50 %“ bezieht sich hier auf den Grundwert 15 Euro. Obwohl der Prozentsatz „50 %“ in beiden Aussagen gleich ist, sind die Prozentwerte „5 Euro“ und „7,50 Euro“ unterschiedlich, da sich die Aussagen auf unterschiedliche Grundwerte beziehen.

Steigung in Prozent

10 % Steigung sind 10 m Höhenunterschied auf einer horizontalen Strecke von 100 m. Dies entspricht einem Steigungswinkel von ca. 5,7°.

In der Technik (zum Beispiel Rohrleitung) wird auch die Steigung (bzw. das Gefälle) in Prozent angegeben. Diese Prozentangabe drückt das Verhältnis von Höhenunterschied und waagerechter Strecke aus. Eine Steigung von 100 % bedeutet demzufolge einen Steigungswinkel von 45°. Eine Steigung von 10 % bedeutet, dass auf einer horizontalen Strecke von 100 m ein Höhenunterschied von 10 m zurückgelegt wird.

Im Straßenverkehr gibt der auf einem Verkehrsschild angegebene Wert nicht die durchschnittliche Steigung der gesamten Strecke an, sondern die maximale Steigung, die auf dem Radabstand eines die Strecke zurücklegenden Kraftfahrzeugs wirkt.

Mathematisch kann man eine Steigungsangabe in Prozent über die Arcustangens-Funktion in eine Winkelangabe (je nach DRG-Einstellung des Taschenrechners in Grad, rad oder gon) umrechnen:

\alpha =\arctan \left({\frac {p}{100}}\right)

Die folgende Tabelle gibt für einige typische Werte für Eisenbahnstrecken (Bereich um 1 %), Gebirgsstraßen (Bereich zwischen 10 % und 30 %), Skipisten (Bereich bis 100 %) sowie zur Illustration einige extreme Werte an.

Steigung p Winkel α (ca.)
0 ‰ (=0,0 %) 0,0°
1 ‰ (=0,1 %) 0,057°
3 ‰ (=0,3 %) 0,17°
1 % 0,57°
3 % 1,72°
8 % 4,57°
10 % 5,71°
12 % 6,84°
15 % 8,53°
20 % 11,3°
25 % 14,0°
30 % 16,7°
40 % 21,8°
50 % 26,6°
70 % 35,0°
100 % 45,0°
200 % 63,4°
500 % 78,7°
1000 % 84,3°
10000 % 89,4°
∞ (unendlich) % 90,0°

Stoffgemische

Zu beachten ist auch, dass Prozentangaben für den Gehalt eines Stoffes als Mengenverhältnis Gramm pro 100 Gramm angegeben werden können, wobei zu spezifizieren und zu differenzieren ist, ob (wie bei Löslichkeitsangaben) Gramm Stoff pro 100 g des Lösungsmittels gemeint sind oder Gramm Stoff pro 100 Gramm einer fertigen Lösung (im Sinne einer Konzentrationsangabe) (mehr dazu siehe Gehaltsangabe).

Bei Prozentangaben von Stoffgemischen muss angegeben sein, ob sich diese auf den Massenanteil oder den Volumenanteil bezieht. Haben die Stoffe unterschiedliche Dichten, so sind diese beiden Angaben verschieden. Beispielsweise wird bei Getränken der Alkoholanteil in Volumenprozent (% Vol.) angegeben.

Da Alkohol eine geringere Dichte (ca. 0,8 g/cm³) als Wasser (ca. 1 g/cm³) hat, ist der Anteil des Alkohols in Masseprozent geringer als der in Volumenprozent. Beispielsweise beträgt für ein Getränk mit 50 % Vol. Alkohol der Masseanteil des Alkohols lediglich 44,4 % (Masse).

Eingabe am Taschenrechner

Taschenrechner unterschiedlicher Bauart und Hersteller behandeln die Tastatureingabe einer Prozentrechnung unterschiedlich. Dies kann zu Verwirrungen bzw. dazu führen, dass Benutzer von Taschenrechnern bei Prozentrechnungen auf die Prozenttaste verzichten und eher auf den Dreisatz oder auf die obenstehende Formel zurückgreifen.

Etymologie

Der Begriff Prozent entstammt der Kaufmannsprache und taucht im Deutschen erstmals im 15. Jahrhundert in kaufmännischen Dokumenten aus Süddeutschland auf. Dort wird jedoch noch nicht das heutige Wort verwendet, sondern das aus dem Italienischen übernommene per cento (dt. pro hundert). Das italienische cento wiederum leitet sich von dem lateinischen centum (dt. hundert) ab. Im 16. Jahrhundert setzte sich im hochdeutschen Sprachraum dann eine Umstellung auf pro cento durch, die dann zum heutigen Prozent und der inzwischen veralteten relatinisierten Form pro centum geworden ist. In Österreich jedoch blieb die ursprüngliche italienische Form weiterhin erhalten und wurde zu dem heutigen (inzwischen allerdings auch veralteten) Perzent.

Schreibweise

Weitere Begriffe

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.08. 2021