Logistische Gleichung

Die logistische Gleichung wurde ursprünglich 1837 von Pierre François Verhulst als demographisches mathematisches Modell eingeführt. Die Gleichung ist ein Beispiel dafür, wie komplexes, chaotisches Verhalten aus einfachen nichtlinearen Gleichungen entstehen kann. Infolge einer richtungsweisenden Arbeit des theoretischen Biologen Robert May aus dem Jahr 1976 fand sie weite Verbreitung. Bereits 1825 stellte Benjamin Gompertz in einem verwandten Zusammenhang eine ähnliche Gleichung vor.

Die zugehörige Dynamik kann anhand eines sogenannten Feigenbaumdiagramms (siehe unten) veranschaulicht werden. Eine wichtige Rolle spielt dabei die schon 1975 von Mitchell Feigenbaum gefundene Feigenbaum-Konstante.

Das demographische Modell

Es werden mathematische Gesetzmäßigkeiten gesucht, die die Entwicklung einer Population modellhaft darstellen. Aus der Größe X_{n} der Population zu einem gewissen Zeitpunkt soll auf die Größe X_{n+1} nach einer Fortpflanzungsperiode (z.B. nach einem Jahr) geschlossen werden.

Das logistische Modell berücksichtigt zwei Einflüsse:

  1. Durch Fortpflanzung vermehrt sich die Population geometrisch. Die Individuenzahl ist im Folgejahr um einen Wachstumsfaktor q_\mathrm f größer als die aktuelle Population.
  2. Durch Verhungern verringert sich die Population. Die Individuenzahl vermindert sich in Abhängigkeit von der Differenz zwischen ihrer aktuellen Größe und einer theoretischen Maximalgröße  G mit der Proportionalitätskonstante q_\mathrm v. Der Faktor, um den sich die Population vermindert, hat also die Gestalt q_\mathrm h = (G-X_n) \, q_\mathrm v .

Um bei der Berechnung der Population im Folgejahr beide Prozesse zu berücksichtigen, multipliziert man die aktuelle Population X_{n} sowohl mit dem Vermehrungsfaktor q_\mathrm f als auch mit dem Hungerfaktor q_\mathrm h. Man erhält damit die logistische Gleichung

X_{n+1}=q_\mathrm f \, q_\mathrm v \, X_n \, (G-X_n) .

Um die folgenden mathematischen Untersuchungen zu vereinfachen, wird die Populationsgröße X_{n} oft als Bruchteil x_{n} der Maximalgröße G angegeben:

x_n = \frac{X_n}{G} .

Außerdem werden G, q_\mathrm f und q_\mathrm v zusammengefasst zum Parameter r:

r =G\, q_\mathrm f \, q_\mathrm v.

Damit ergibt sich die folgende Schreibweise für die logistische Gleichung:

x_{n+1} = r\, x_n\,(1 - x_n / K)

Hierbei ist K die Kapazität des Biotops. Das heißt, es ist die Population, die bei geeigneter Wahl von r dem Fixpunkt der Dynamik entspricht.

Das mathematische Modell

Für K=1 ergibt sich

x_{n+1} = r\cdot x_n\cdot(1 - x_n)

x_{n} ist dabei eine Zahl zwischen {\displaystyle 0} und 1. Sie repräsentiert die relative Größe der Population im Jahr n. Die Zahl x_{0} steht also für die Startpopulation (im Jahr 0). Der Parameter r ist immer positiv, er gibt die kombinierte Auswirkung von Vermehrung und Verhungern wieder.

Verhalten in Abhängigkeit von r

Die Animation unten zeigt die Zeitreihenentwicklung der Logistischen Gleichung im Zeit- und Frequenzbereich (Fourier-Analysis) für  2 < r < 4 .

Logistic map animation.gif

Gut sichtbar sind die Zonen der Intermittenz innerhalb des deterministischen Chaos.

Bei verschiedenen r können die folgenden Verhaltensweisen für große n beobachtet werden. Dabei hängt dieses Verhalten nicht vom Anfangswert ab, sondern nur von r:

Dieser Übergang von konvergentem Verhalten über Periodenverdopplungen zu chaotischen Verhalten ist generell für nichtlineare Systeme typisch, die in Abhängigkeit von einem Parameter chaotisches oder nicht chaotisches Verhalten zeigen.

Eine Erweiterung des Wertebereiches auf die komplexen Zahlen führt nach einer Koordinatentransformation zur Mandelbrotmenge.

Beispiel

Die „logistische Kurve“ mit einer Wachstumsrate r = 1{,}4 verläuft S-förmig. Ab einem Wert um 3,6 bricht Chaos aus, wie die Abbildung mit r = 3{,}81 illustriert.

„Logistische Kurve“ mit einer Wachstumsrate r = 1,4
„Logistische Kurve“ mit einer Wachstumsrate r = 3,81

Graphische Darstellung

Das folgende Bifurkationsdiagramm, bekannt als Feigenbaum-Diagramm, fasst diese Beobachtungen zusammen. Die horizontale Achse gibt den Wert des Parameters r an und die vertikale Achse die Häufungspunkte für die Folge x_{n}.

Analytische Lösung

Für den Parameter r = 2 existiert eine analytische Lösung:

 x(n) =\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1-2x_0)^\left(2^n\right)

Für die Parameter r = -2 und r = 4 können ebenfalls analytische Lösungen angegeben werden.

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 30.05. 2019