Pauli-Gleichung

Die Pauli-Gleichung geht auf den österreichischen Physiker Wolfgang Pauli zurück. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung eines geladenen Spin-1/2-Teilchens, etwa eines Elektrons, das sich so langsam im elektromagnetischen Feld bewegt, dass die Feldenergie und die kinetische Energie klein gegen die Ruheenergie ist, also keine relativistischen Effekte auftreten. Zusätzlich zu den Termen in der Schrödinger-Gleichung für spinlose Teilchen enthält die Pauli-Gleichung einen Term, der den Spin mit dem Magnetfeld koppelt und der in der klassischen Physik keine Entsprechung hat. Mit diesem Term kann man das Verhalten der Silberatome beim Stern-Gerlach-Versuch verstehen. Fliegen sie durch ein inhomogenes Magnetfeld, so werden sie je nach Spin-Richtung in zwei Teilstrahlen aufgespalten.

Die Pauli-Gleichung lautet:

$\mathrm i\, \hbar\, \partial_t\, \varphi = \underbrace{ \left( \frac{(\vec p- q \vec A)^2}{2\, m} + q \,\phi \right)}_{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}\,\varphi - g\,\underbrace{\frac{q\,\hbar }{2\,m}\,\frac{\vec{ \sigma}}{2} \cdot \vec B}_{\text{Spin-Magnetfeld}}\,\varphi\,$

Hier bezeichnet

$\varphi=\begin{pmatrix}\varphi_\uparrow(t,\vec{x})\\ \varphi_\downarrow(t,\vec{x})\end{pmatrix}$ die zweikomponentige Ortswellenfunktion,
$p^i=-\mathrm i \hbar \partial_{x^i}\,,i\in\{1,2,3\}\,,$ die -te Komponente des Impulses,
$\, q$ die elektrische Ladung und $\, m$ die Masse des Teilchens,
$\, \phi$ das skalare elektrische Potential und ${\vec A}$ das Vektorpotential,
$\, g$ den gyromagnetischen Faktor,
$\vec{\sigma}$ die Pauli-Matrizen (mit dem Spin-Operator ${\vec {S}}=\hbar \,{\frac {{\vec {\sigma }}}{2}}$ ),
$\vec B=\text{rot}\,\vec{A}$ das Magnetfeld.

In einem schwachen, homogenen Magnetfeld ${\vec {B}}$ koppelt nach der Pauli-Gleichung der Spin um den gyromagnetischen Faktor stärker an das Magnetfeld als ein gleich großer Bahndrehimpuls $\vec{L}\,,$

$\mathrm i\, \hbar\, \partial_t\, \varphi = \frac{\vec p^2}{2\, m} \varphi - \frac{q }{2\,m}\,\bigl(\vec L + g \,\vec S\bigr) \cdot \vec B\,\varphi\,.$

Man erhält die Pauli-Gleichung auch als nichtrelativistischen Grenzfall aus der Dirac-Gleichung, die das Verhalten von elementaren Spin-1/2-Teilchen mit oder ohne Ladung beschreibt. Dabei sagt die Diracgleichung den Wert g=2 für den gyromagnetischen Faktor von Elektronen voraus. Dieser Wert kann auch ohne Einbeziehung relativistischer Annahmen aus der Linearisierung der Schrödingergleichung berechnet werden. Die Quantenelektrodynamik korrigiert diesen Wert zu

$g=2,002\,319\,304\,8(8)\,.$

Der theoretische Wert stimmt beim Elektron mit dem gemessenen Wert in den ersten 10 Dezimalen überein.

Herleitung aus der Dirac-Gleichung

Ausgehend von der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld, aufgespalten in zwei Zweierspinoren,

$\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \,\left( \begin{array}{c} \varphi_1\\ \varphi_2\end{array} \right) = c \,\left( \begin{array}{c} \vec{ \sigma}\cdot \vec \pi \,\varphi_2\\ \vec{\sigma}\cdot \vec \pi \,\varphi_1\end{array} \right)+q\, \phi \,\left( \begin{array}{c} \varphi_1\\ \varphi_2\end{array} \right) + m\,c^2\, \left( \begin{array}{c} \varphi_1 \\-\varphi_2\end{array} \right)$ mit $\vec \pi = \vec p - q\, \vec A$

unterstellt man, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruhenergie herrührt,

$\left( \begin{array}{c} \varphi_1 \\ \varphi_2 \end{array} \right) = \mathrm e^{-\mathrm i \frac{\displaystyle m\,c^2\,t}{\displaystyle \hbar}} \left( \begin{array}{c} \varphi \\ \chi \end{array} \right)$

die Zeitableitung der Zweierspinoren $\varphi$ und $\chi$ klein ist.

$\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \,\left( \begin{array}{c} \varphi\\ \chi\end{array} \right) = c \,\left( \begin{array}{c} \vec{ \sigma}\cdot \vec \pi \,\chi\\ \vec{\sigma}\cdot \vec \pi \,\varphi\end{array} \right)+q\, \phi \,\left( \begin{array}{c} \varphi\\ \chi \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\-2\,m\,c^2\, \chi \end{array} \right)$

In der Zeile $\partial_t \chi$ ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie klein gegen die Ruheenenergie $m\,c^2\,.$ Daher ist $\chi$ klein gegen $\varphi$ und ungefähr gleich

$\chi \approx \frac{\vec \sigma \cdot \vec{\pi}\,\varphi}{2\,m\,c}\,.$

In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich

$\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi= \frac{(\vec \sigma\cdot \vec \pi)^2}{2\,m} \,\varphi +q\, \phi\, \varphi\,.$

Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man

$(\vec \sigma\cdot \vec \pi)^{\,2}=\sigma^i\,\sigma^j \pi^i \pi^j= (\delta^{ij}+\mathrm i \varepsilon^{ijk}\sigma^k) \pi^i \pi^j= \vec{\pi}^2 - q\,\hbar\, \vec{\sigma}\cdot\vec{B}\,.$

Der Spinor $\varphi$ genügt daher der Pauli-Gleichung mit g=2 ,

$\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi= \frac{\vec \pi ^{\,2}}{2\,m} \,\varphi + q\,\phi\,\varphi -\frac{q\,\hbar}{2\,m}\,\vec{\sigma}\cdot\vec{B}\,\varphi\,.$

Im homogenen Magnetfeld gilt $\phi=0\,,\,\vec{A}=\frac{1}{2}\,\vec B \times\vec{x}\,,$ und unter Zuhilfenahme der Vertauschungsregeln des Spatproduktes folgt

$(\vec p-q \vec A)^2 = \vec{p}^{\,2} - q\,\vec{x}\times\vec p\cdot \vec{B} = \vec{p}^{\,2} - q\,\vec L\cdot\vec B\,,$

wenn man Terme vernachlässigt, die quadratisch in ${\vec {B}}$ sind. Dann besagt die Pauli-Gleichung

$\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi= \frac{\vec p^{\,2}}{2\,m} \,\varphi -\frac{q}{2\,m}\,(\vec{L} + g\, \vec{S} )\cdot\vec{B}\,\varphi\,.$

Das Magnetfeld koppelt folglich nicht nur an den Bahndrehimpuls ${\vec {L}}$ und trägt nicht nur $-\frac{q\,\hbar }{2\,m}\,\frac{\vec L}{\hbar} \cdot \vec B$ zur Energie bei. Der Faktor $\frac{q\,\hbar }{2\,m}$ wird Magneton des Teilchens genannt. Im Spezialfall des Elektrons spricht man auch vom bohrschen Magneton.

In Drehimpulseigenzuständen ist $\frac{\vec L}{\hbar} \cdot \vec B$ ein ganzzahliges Vielfaches der Magnetfeldstärke $|\vec{B}|\,.$ Dagegen ergibt $\frac{\vec S}{\hbar}\cdot\vec B$ ein halbzahliges Vielfaches, das erst nach Multiplikation mit g ganzzahlig wird. Bei isolierten Atomen oder Ionen muss man den Gesamt-Bahndrehimpuls und den Gesamt-Spindrehimpuls des Atoms bzw. Ions zu einem Gesamtdrehimpuls J (= L+S ) addieren und erhält den sog. Landé-Faktor g(L, S, J). Dieser ist 1 bei reinem Gesamt-Bahndrehimpuls und 2 bei reinem Gesamt-Spindrehimpuls, und hat sonst von 1 und 2 verschiedene Werte. Wenn ferner die betroffenen Atome in einen Festkörper eingebaut sind, erhält man Zusatzbeiträge, die g wesentlich verändern können.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de