Fermi-Dirac-Integral

In der statistischen Physik wird das Fermi-Dirac-Integral (nach Enrico Fermi und Paul Dirac), mit Index j definiert als

$F_{j}(x)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{j}}{\exp(t-x)+1}}\,dt$

wobei $\Gamma (x)$ die Gammafunktion ist. Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben

$F_{j}(x,b)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }{\frac {t^{j}}{\exp(t-x)+1}}\,dt$

dann spricht man vom unvollständigen Fermi-Dirac-Integral.

Anwendung für F_1/2

Die Funktion tritt unter anderem auf in der Festkörperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral $F_{{1/2}}(x)$ berechnet werden (siehe: Zustandsdichte). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen $t:={\tfrac {E-E_{{c}}}{kT}}$ sowie $x:={\tfrac {\mu -E_{{c}}}{kT}}$ , sodass ${\mathrm {d}}E=kT\,{\mathrm {d}}t$ :

$n=N\int _{{E_{{c}}}}^{{\infty }}{\frac {{\sqrt {E-E_{{c}}}}}{\exp \left({\frac {E-\mu }{kT}}\right)+1}}\,{\mathrm {d}}E=N\left(kT\right)^{{{\frac {3}{2}}}}{\frac {{\sqrt {\pi }}}{2}}{\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\int _{{0}}^{{\infty }}{\frac {{\sqrt {t}}}{\exp \left(t-x\right)+1}}\,{\mathrm {d}}t=N\left(kT\right)^{{{\frac {3}{2}}}}{\frac {{\sqrt {\pi }}}{2}}F_{{1/2}}(x)$

Näherung für F_1/2

Das Integral $F_{{1/2}}(x)$ lässt sich für verschiedene Wertebereiche von x näherungsweise lösen:

${\tilde {F}}_{{1/2}}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{e^{{-x}}+0.27}}&{\text{wenn }}\ -\infty <x<1.3\\{\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}\left(x^{{2}}+{\frac {\pi ^{{2}}}{6}}\right)^{{3/4}}&{\text{wenn }}\ \,1.3\leq x<\infty \end{cases}}$

Der relative Fehler dieser Näherungslösung $\left({\tilde {F}}_{{1/2}}(x)-F_{{1/2}}(x)\right)/F_{{1/2}}(x)$ beträgt maximal 3 % (maximale Abweichung bei x=0 und bei x=1.3 ). Für große Entfernung vom Ursprung lässt sich $F_{{1/2}}(x)$ durch zwei Funktionen annähern: