Matrizenoptik

Die Matrizenoptik ist eine Rechenmethode in der paraxialen Optik, bei der die Veränderung von Lichtstrahlen durch optische Bauelemente mit Hilfe von Matrizen dargestellt wird. Diese nennt man (Strahl-)Transfermatrizen oder auch, nach ihren vier Einträgen, ABCD-Matrizen.

Grundlagen

Veranschaulichung von r, z, $\alpha$

Man betrachtet die Lichtausbreitung entlang der optischen Achse, hier als -Achse definiert. Der Zustand eines Lichtstrahles an einem Punkt (also bei einem bestimmten ) kann durch zwei Werte beschrieben werden: seinen Abstand von der optischen Achse und den Winkel $\alpha$ , den er mit ihr einschließt. Man kann den Strahl also als Vektor aus diesen beiden Komponenten darstellen:

${\vec r}={\begin{pmatrix}r\\\alpha \end{pmatrix}}$

Der Winkel $\alpha$ gibt dabei, da er die Neigung des Strahls darstellt, die Änderung von mit an. Im Rahmen der paraxialen Näherung, also nach dem Grenzübergang, mit dem und $\alpha$ gegen Null gehen, gilt $\sin \alpha =\tan \alpha =\alpha$ .

Betrachtet man und $\alpha$ nicht als infinitesimale, sondern endliche Größen (im Sinne der Gaußschen Optik), muss man die zweite Vektorkomponente $\alpha$ als Tangens des Winkels zwischen Strahl und Achse auffassen, also als Steigung des Strahls, damit zwischen $\alpha$ und der Änderung von mit ein linearer Zusammenhang besteht.

Wenn ein Strahl einen Weg in -Richtung zurücklegt und dabei evtl. auch abbildende Elemente (Linsen, Spiegel) durchläuft, kann die Änderung des Strahlvektors mit einer Transformationsmatrix beschrieben werden, die sich nach der Differenz der -Koordinaten und den Eigenschaften der durchlaufenen Elemente richtet. Man multipliziert die Transformationsmatrix von links an den Strahlvektor, und der resultierende Vektor beschreibt die Eigenschaften des Strahles nach Durchlaufen des Weges:

${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{1}\\\alpha _{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{2}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}$

Die übliche Konvention ist, dass die Strahlrichtung (also die positive -Achse) von links nach rechts verläuft. r wird oberhalb der Achse positiv, unterhalb negativ gezählt. $\alpha$ ist positiv, wenn der Strahl nach oben zeigt, und negativ, wenn er nach unten zeigt.

Transfermatrizen wichtiger Elemente

Translation

Breitet sich ein Lichtstrahl ungehindert über die Distanz $d=z_{2}-z_{1}$ entlang der optischen Achse aus, ohne abbildende Elemente zu durchlaufen, beschreibt man dies mit der folgenden Matrix des optischen Weges, die nur von der Entfernung und nicht vom durchlaufenen Medium abhängt:

$T={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}};\quad {\begin{pmatrix}r_{2}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}=T{\begin{pmatrix}r_{1}\\\alpha _{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1}+d\alpha _{1}\\\alpha _{1}\end{pmatrix}}$

Ein sich einfach ausbreitender Strahl ändert also seine Neigung zur Achse nicht, sondern nur gemäß seiner Neigung seinen Abstand zu ihr.

Brechung an ebener Grenzfläche

Trifft ein Lichtstrahl auf eine ebene Grenzfläche ergibt sich die Transfermatrix zu

$B=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&{\frac {{n}_{1}}{{n}_{2}}}\\\end{matrix}}\right]$

Beim Durchtritt durch die Grenzfläche ändert sich der Abstand zur optischen Achse nicht, der Winkel ändert sich jedoch aufgrund des Brechungsgesetzes. Da die Matrixbeschreibung nur für die paraxiale Näherung ( $\sin(\alpha )\approx \alpha$ ) gilt, vereinfacht sich das Brechungsgesetz dabei zu ${{n}_{1}}{{\alpha }_{1}}={{n}_{2}}{{\alpha }_{2}}$

Brechung an Linsenoberfläche

Wird ein Lichtstrahl an einer sphärisch gekrümmten Fläche gebrochen, wobei sich nur die Strahlrichtung und nicht die -Koordinate ändert, so lautet die Transfermatrix gemäß dem Brechungsgesetz

$R={\begin{bmatrix}1&0\\\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right)\cdot \rho &{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{bmatrix}}$ .

Dabei sind $n_{1}$ und $n_{2}$ die Brechungsindizes der optischen Medien vor und nach der Grenzfläche, und $\rho$ ist die Krümmung der Fläche in ihrem Scheitel (Flächenmitte). $\rho$ ist positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt hinter der Fläche liegt (konvexe Fläche, in positiver -Richtung gesehen). Bei einer sphärischen Fläche mit Radius ist $\rho =1/r$ , und $\rho =0$ ist der Fall einer ebenen Fläche (siehe Brechung an ebener Grenzfläche).

Dünne Linse

Durch Multiplikation zweier Flächen-Brechungsmatrizen und Anwendung der Linsenschleiferformel erhält man für den Durchgang durch eine dünne Linse die Transfermatrix

$L={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{-f}}&1\end{bmatrix}}$ ,

wobei ${\mathit {f}}$ die Brennweite der Linse ist. ${\mathit {f}}$ ist größer 0, wenn die Linse fokussierend wirkt (Sammellinse), und kleiner 0 für eine defokussierende Linse (Zerstreuungslinse).

Dicke Linse

Wird die Dicke ${\mathit {d}}$ der Linse zwischen den Linsenoberflächen mit den Krümmungsradien ${\mathit {{R}_{1}}}$ und ${\mathit {{R}_{2}}}$ berücksichtigt, erhält man für den Durchgang durch eine dicke Linse die Transfermatrix

$D=\left[{\begin{matrix}1-{\frac {d}{{R}_{1}}}{\frac {{{n}_{L}}-n}{{n}_{L}}}&{\frac {d\,n}{{n}_{L}}}\\({{n}_{L}}-n)\left({\frac {1}{{R}_{2}}}-{\frac {1}{{R}_{1}}}-{\frac {d}{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}}{\frac {{{n}_{L}}-n}{{n}_{L}}}\right)&1+{\frac {d}{{R}_{2}}}{\frac {{{n}_{L}}-n}{{n}_{L}}}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&{{H}_{2}}\\0&1\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}1&0\\{\frac {1}{-f}}&1\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}1&{{H}_{1}}\\0&1\\\end{matrix}}\right]$ ,

wobei ${\mathit {n}}_{L}$ der Brechungsindex des Linsenmaterials, ${\mathit {n}}$ der Brechungsindex des Umgebungsmediums, ${\mathit {{H}_{1}}}$ und ${\mathit {{H}_{2}}}$ die Hauptebenen der Linse und ${\mathit {f}}$ die Brennweite, gemessen von den Hauptebenen, sind.

Spiegel

Für einen Spiegel der Scheitelkrümmung $\rho$ erhält man mit dem Reflexionsgesetz die Matrix

$K={\begin{bmatrix}1&0\\-2\rho &1\end{bmatrix}}$ ,

wobei $\rho =0$ einen ebenen Spiegel beschreibt. $\rho$ ist positiv für einen Hohlspiegel und negativ für einen konvexen Spiegel. Bei einem sphärischen Spiegel ist der Radius $r=1/\rho$ . Zu beachten ist die Konvention, dass die optische Achse mit der generellen Propagationsrichtung des Lichts übereinstimmt, das heißt am Spiegel ihre Richtung umkehrt.

Hauptebenen

Aus einer Transfermatrix können die äquivalente Brennweite einer dünnen Linse und die Hauptebenen des zugehörigen optischen Systems bestimmt werden

$\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\\\end{matrix}}\right]\,=\left[{\begin{matrix}1&{{H}_{2}}\\0&1\\\end{matrix}}\right]\ \,\left[{\begin{matrix}1&0\\-{{f}^{-1}}&1\\\end{matrix}}\right]\ \left[{\begin{matrix}1&{{H}_{1}}\\0&1\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1-{\frac {{H}_{2}}{f}}&{{H}_{1}}+{{H}_{2}}-{\frac {{{H}_{1}}{{H}_{2}}}{f}}\\-{\frac {1}{f}}&1-{\frac {{H}_{1}}{f}}\\\end{matrix}}\right]$

$f=-{\frac {1}{C}}$

${{H}_{1}}={\frac {D-1}{C}}$

${{H}_{2}}={\frac {A-1}{C}}$

Somit wird es möglich, ein optisches System mit mehreren Linsen durch nur eine äquivalente Brennweite auszurücken.

Kombination von Elementen

Durchläuft ein Strahl mehrere optische Elemente hintereinander, so werden nacheinander die entsprechenden Transfermatrizen auf den Strahlvektor angewandt, was äquivalent dazu ist, sie zu multiplizieren und dann die Produktmatrix auf den Vektor anzuwenden. Dabei gelten die Regeln der Matrizenmultiplikation: durchläuft der Strahl drei Elemente in der Reihenfolge $T_{1},T_{2},T_{3}$ , so wird das Produkt in der Reihenfolge $T_{3}\cdot T_{2}\cdot T_{1}$ gebildet.

So ergeben sich die Matrizen komplizierterer Systeme als Produkt der Matrizen der elementaren Systemteile, etwa die einer dicken Linse aus denen einer Linsenoberfläche, einer Translation durch das Linsenglas und einer weiteren Fläche, oder die eines Linsensystems aus einer Abfolge von Linse, Translation, Linse, ... bzw. Fläche, Translation, Fläche, ....

Alternative Konvention

Von einigen Autoren wird abweichend zur hier verwendeten Konvention der Strahlvektor definiert als ${\vec r}(z)={\begin{pmatrix}r(z)\\n\alpha (z)\end{pmatrix}}$ , wobei n der Brechungsindex des Mediums am Ort (r,z) ist. Dies hat zur Folge, dass etwa in der Matrix für Translation durch ein Medium für dieses zusätzliche n korrigiert werden muss, sie lautet in dieser Konvention $T={\begin{bmatrix}1&{\frac {d}{n}}\\0&1\end{bmatrix}}$ und ist somit selbst explizit vom Medium abhängig. Der Vorteil dieser Konvention ist, dass die Matrix für Brechung an einer ebenen Fläche zur Einheitsmatrix wird.

Manche Autoren vertauschen auch die beiden Einträge des Strahlenvektors, sodass er folgendermaßen definiert ist:

${\vec r}(z)={\begin{pmatrix}n\alpha (z)\\r(z)\end{pmatrix}}$ .

Die Matrizen verändern sich entsprechend.

Weitere Anwendungen

Gaußstrahlen

Die Anwendung der Matrizenoptik ist nicht auf die geometrische Optik beschränkt, sie lässt sich durch den Übergang von Matrizen zu Möbius-Abbildungen auch auf das Konzept der Gauß-Strahlen übertragen. Hierzu bleiben die ABCD-Matrizen und ihre Multiplikationsregeln komplett erhalten, man wendet sie aber nicht mehr per Multiplikation auf einen Strahlvektor an, sondern auf den Strahlparameter gemäß folgender Vorschrift:

$q_{1}(z)={\frac {Aq_{0}+B}{Cq_{0}+D}}$ .

Der Strahlparameter berechnet sich hierbei nach ${1 \over q}={1 \over R}-{i\lambda \over \pi w^{2}}$ mit dem Krümmungsradius des Gaußschen Strahls, der Wellenlänge $\lambda$ und dem Radius des Gauß-Strahls (alternativ $q(z)=z+iz_{0}$ ).

Polarisation

Ein zur geometrischen Matrizenoptik analoges Verfahren wird verwendet, um die Veränderung der Polarisation beim Durchgang durch optische Elemente zu berechnen. Der Polarisationszustand wird durch Jones-Vektoren ausgedrückt und mit Jones-Matrizen manipuliert.

Technische Nutzung

Neben der mathematischen Anwendung des Verfahrens mit z.B. Programmen wie MATLAB zur Berechnung von Strahlengängen, werden Adaptionen desselben dazu herangezogen, um Strahlengänge bewegter Linsensystem zu antizipieren und zu erwartende Abbildungen vorauszuberechnen, wie z.B. bei der Echtzeit-Objektverfolgung oder der Justage von verbundenen Linsensystemen zur Fokussierung, wie astronomischen Spiegeln.

Literatur

D. Meschede: Optik, Licht und Laser. B.G. Teubner, Stuttgart/ Leipzig 2005, ISBN 3-519-13248-6.
F. Pedrotti, L. Pedrotti, Werner Bausch, Hartmut Schmidt: Optik. Prentice Hall, München u. a. 1996, ISBN 3-8272-9510-6.

Basierend auf einem Artikel in:

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