Generalisierter Impuls

Der generalisierte Impuls, auch verallgemeinerter, kanonischer, kanonisch konjugierter, oder konjugierter Impuls, tritt sowohl in der Hamiltonschen Mechanik als auch in der Lagrange-Mechanik auf. Zusammen mit dem konjugierten Ort kennzeichnet er den jeweiligen Zustand des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ändert.

Als Funktion des Ortes q und der Geschwindigkeit {\dot  q} ist der generalisierte Impuls die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion L nach der Geschwindigkeit:

p_{j} = {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot q_j }}} \, , \ j = 1 .... n

Beim Übergang von der klassischen Physik zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls (im Gegensatz zum kinetischen Impuls) durch den Impulsoperator {\hat {p}} ersetzt:

p_j\rightarrow \hat p_j = -\hbar i \frac{\partial}{\partial x_j}

Beispiele

Klassische Bewegung

 L =  \frac{1}{2} \, m \, \dot{\mathbf{x}}^2 - V(\mathbf{x},t)
ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:
{\mathbf  p}=m{\dot  {{\mathbf  x}}}
 L = \frac 1 2\, m \bigl(\dot r^2 + r^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2 \bigr) - V(r,\varphi,z,t)
ist der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Zylinderachse:
p_{\dot{\varphi}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = m \, r^2 \dot{\varphi}
L = \frac{1}{2} \, m \, \dot{\mathbf x}^2 - q \, \phi(t, \mathbf x) + q \, \dot{\mathbf x} \cdot \mathbf A(t, \mathbf x)
hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential \mathbf {A} des Feldes:
\mathbf p = m \, \dot{\mathbf x} + q \, \mathbf A(t,\mathbf x)

Relativistische Bewegung

{\displaystyle L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-V(\mathbf {x} ,t)}
ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:
{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}}
{\displaystyle L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-q\,\phi (t,\mathbf {x} )+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )}
hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes:
{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\,\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.09. 2022