Glatte Zahl
Eine glatte Zahl bezüglich einer Schranke ist eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung keine Primzahlen vorkommen, die größer als die Schranke sind. Man bezeichnet eine solche Zahl auch als -glatt.
Eine natürliche Zahl heißt potenzglatt bezüglich einer Schranke , wenn in ihrer Primfaktorzerlegung nur Primpotenzen kleiner oder gleich vorkommen. Das heißt, für jeden Primfaktor , der mal vorkommt, gilt:
- .
Beispiele
Untersuchen wir zum Beispiel die Zahl 720 (Primfaktorzerlegung: 720 = 24 · 32 · 5):
- sie ist 5-glatt, 6-glatt …
- nicht jedoch 3-glatt oder 4-glatt (wegen der 5 als Primfaktor, da 5 größer ist als 3 und 4)
- sie ist ferner 16-potenzglatt, 17-potenzglatt …,
- nicht jedoch 15-potenzglatt (da in der Primfaktorzerlegung die 2 in der 4. Potenz (= 16) auftritt, womit die Schranke 15 überschritten wird)
Betrachten wir im Folgenden die Zahl 8 als Schranke.
8-glatt
- sind z.B. 3, 4, 5, 12, 14 oder 120
- nicht jedoch 11 oder 26
8-potenzglatt
- sind z.B. 3, 4, 5, 12, 56 oder 840 (=23 · 3 · 5· 7)
- nicht jedoch 9 (= 32) oder 16 (= 24)
Hinweise:
- Wenn eine Primzahl, die nächstgrößere Primzahl und ist, ist die Menge der -glatten Zahlen gleich der Menge der -glatten Zahlen.
- 2-glatte Zahlen entsprechen den Zweierpotenzen.
- Als "1-glatt" kann formal die Zahl 1 gelten.
Eigenschaften
Für jede natürliche Zahl gibt es eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Das heißt, zu jedem existiert und Primzahlen , sowie Vielfachheiten so, dass gilt
Nun definieren wir
Für jedes und ist die Zahl -glatt und -potenzglatt, für alle und ist die Zahl weder -glatt noch -potenzglatt.
7-glatte Zahlen
7-glatte (oder 7er glatte) Zahlen sind solche, die ausschließlich aus Potenzen der Primfaktoren 2, 3, 5 und 7 bestehen, zum Beispiel 1372 = 22 · 73.
Ein häufig synonym gebrauchter Begriff ist hochzusammengesetzte Zahlen, wobei 7-glatte Zahlen sich vom tatsächlichen mathematischen Konzept der Hochzusammengesetzten Zahl unterscheiden, das alle Primfaktoren zulässt und weitere Bedingungen an diese stellt.
Da die Primzahlen 2, 3, 5 und 7 in den auf leichte Teilbarkeit hin orientierten, vormetrischen, alten Maßen und Gewichten auftreten (z.B. 1 Nürnberger Apothekergran = 19600 Nürnberger Grän = 980 Nürnberger Skrupel = 3 Karlspfund), spielt diese Folge auch in der Forschung zur historischen Metrologie eine Rolle.
Die Zahlenfolge der 7-glatten Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42 … findet sich unter Folge A002473 in OEIS mit der Benennung „hochzusammengesetzte Zahlen (2)“ (Highly composite numbers (2): numbers whose prime divisors are all < = 7.)
Verfahren
Das Quadratische
Sieb, ein Faktorisierungsverfahren,
beruht auf der Primfaktorzerlegung quadratischer
Reste. Diese Zerlegung kann für glatte Zahlen leicht durchgeführt werden.
Dabei ist es auch von Interesse, für viele Zahlen auf einmal ihren größten
glatten Teiler zu ermitteln (und eventuell deren Restfaktoren weiter zu
analysieren).
Daniel
Bernstein entwickelte hierzu ein effizientes Verfahren, das
für eine Menge von unzerlegten natürlichen Zahlen mittels gruppenweiser
Multiplikationen und sparsamster Organisation jeden glatten Primfaktor jeder
einzelnen Zahl ermittelt, ohne Testdivisionen mit den in Frage kommenden
Primzahlen durchzuführen. Das Verfahren nutzt lediglich bekannte schnelle
Algorithmen für Multiplikation, Division ohne Rest und Berechnung des größten
gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen.
Folgen glatter Zahlen
Für jede Schranke bilden die entsprechenden -glatten Zahlen eine Folge. Unter der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) stehen diese Folgen für kleine Schranken zur Verfügung:
- OEIS – alle Zweierpotenzen 2-glatte Zahlen: Folge A000079 in
- OEIS – Zahlen der Form 3-glatte Zahlen: Folge A003586 in
- OEIS – Zahlen der Form 5-glatte Zahlen: Folge A051037 in
- OEIS – … 7-glatte Zahlen: Folge A002473 in
- 11-glatte Zahlen: Folge A51038 in OEIS
- 13-glatte Zahlen: Folge A80197 in OEIS
- 17-glatte Zahlen: Folge A80681 in OEIS
- 19-glatte Zahlen: Folge A80682 in OEIS
- 23-glatte Zahlen: Folge A80683 in OEIS
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 29.08. 2022