Glatte Zahl

Eine glatte Zahl bezüglich einer Schranke S ist eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung keine Primzahlen vorkommen, die größer als die Schranke sind. Man bezeichnet eine solche Zahl auch als S-glatt.

Eine natürliche Zahl heißt potenzglatt bezüglich einer Schranke S, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung nur Primpotenzen kleiner oder gleich S vorkommen. Das heißt, für jeden Primfaktor q, der a_{q} mal vorkommt, gilt:

q^{{a_{q}}}\leq S.

Beispiele

Untersuchen wir zum Beispiel die Zahl 720 (Primfaktorzerlegung: 720 = 24 · 32 · 5):

Betrachten wir im Folgenden die Zahl 8 als Schranke.

8-glatt

8-potenzglatt

Hinweise:

Eigenschaften

Für jede natürliche Zahl gibt es eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Das heißt, zu jedem a\in {\mathbb  {N}} existiert n\in \mathbb {N} und Primzahlen {\displaystyle q_{1},\dots ,q_{n}\in \mathbb {P} }, sowie Vielfachheiten a_{1},\dots ,a_{n}\in {\mathbb  {N}} so, dass gilt

a=\prod _{{i=1}}^{{n}}q_{i}^{{a_{i}}}

Nun definieren wir

g(a):=\max\{q_{i};i=1,\dots ,n\}
z(a):=\max\{q_{i}^{{a_{i}}};i=1,\dots ,n\}

Für jedes g\geq g(a) und z\geq z(a) ist die Zahl a g-glatt und z-potenzglatt, für alle g<g(a) und z<z(a) ist die Zahl a weder g-glatt noch z-potenzglatt.

7-glatte Zahlen

7-glatte (oder 7er glatte) Zahlen sind solche, die ausschließlich aus Potenzen der Primfaktoren 2, 3, 5 und 7 bestehen, zum Beispiel 1372 = 22 · 73.

Ein häufig synonym gebrauchter Begriff ist hochzusammengesetzte Zahlen, wobei 7-glatte Zahlen sich vom tatsächlichen mathematischen Konzept der Hochzusammengesetzten Zahl unterscheiden, das alle Primfaktoren zulässt und weitere Bedingungen an diese stellt.

Da die Primzahlen 2, 3, 5 und 7 in den auf leichte Teilbarkeit hin orientierten, vormetrischen, alten Maßen und Gewichten auftreten (z.B. 1 Nürnberger Apothekergran = 19600 Nürnberger Grän = 980 Nürnberger Skrupel = 3 Karlspfund), spielt diese Folge auch in der Forschung zur historischen Metrologie eine Rolle.

Die Zahlenfolge der 7-glatten Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42 … findet sich unter Folge A002473 in OEIS mit der Benennung „hochzusammengesetzte Zahlen (2)“ (Highly composite numbers (2): numbers whose prime divisors are all < = 7.)

Verfahren

Das Quadratische Sieb, ein Faktorisierungsverfahren, beruht auf der Primfaktorzerlegung quadratischer Reste. Diese Zerlegung kann für glatte Zahlen leicht durchgeführt werden. Dabei ist es auch von Interesse, für viele Zahlen auf einmal ihren größten glatten Teiler zu ermitteln (und eventuell deren Restfaktoren weiter zu analysieren).
Daniel Bernstein entwickelte hierzu ein effizientes Verfahren, das für eine Menge von unzerlegten natürlichen Zahlen mittels gruppenweiser Multiplikationen und sparsamster Organisation jeden glatten Primfaktor jeder einzelnen Zahl ermittelt, ohne Testdivisionen mit den in Frage kommenden Primzahlen durchzuführen. Das Verfahren nutzt lediglich bekannte schnelle Algorithmen für Multiplikation, Division ohne Rest und Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen.

Folgen glatter Zahlen

Für jede Schranke S bilden die entsprechenden S-glatten Zahlen eine Folge. Unter der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) stehen diese Folgen für kleine Schranken zur Verfügung:

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 29.08. 2022