Restklasse

Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie ist die Restklasse einer Zahl modulo einer Zahl die Menge aller Zahlen, die bei Division durch denselben Rest lassen wie .

Definition

Es sei eine von 0 verschiedene ganze Zahl und eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von modulo , geschrieben

$a + m \mathbb{Z},$

ist die Äquivalenzklasse von bezüglich der Kongruenz modulo , also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch den gleichen Rest wie ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen , die sich aus durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von ergeben:

$a + m \mathbb{Z} = \{ b\mid b=a+km\ \, \mathrm{f\ddot ur\ ein}\ \, k\in\mathbb Z\} = \{ b \mid b \equiv a \; (\bmod \; m) \}$ .

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten $0,1,2,\dots,m-1$ .

Die Menge aller Restklassen modulo schreibt man häufig als $\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ oder $\mathbb{Z}_m$ . Sie hat Elemente und die Struktur eines Ringes und wird deshalb Restklassenring genannt. Genau dann, wenn eine Primzahl ist, ergibt sich sogar die Struktur eines endlichen Körpers.

Eine Restklasse modulo heißt prime Restklasse, wenn ihre Elemente teilerfremd zu sind. (Wenn dies für ein Element gilt, dann auch für alle anderen.) Die Menge der primen Restklassen ist die Gruppe der Einheiten $(\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times$ (oder $\mathbb{Z}_m^*$ ) im Restklassenring $\mathbb Z/m\mathbb Z$ ; sie wird prime Restklassengruppe genannt und umfasst die multiplikativ invertierbaren Restklassen.

Beispiele

Die Restklasse von 0 modulo 2 ist die Menge der geraden Zahlen.
Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.
Die Restklasse von 0 modulo ist die Menge der Vielfachen von .
Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge $\{\ldots-8,-5,-2,1,4,7,10,\ldots\}.$

Verallgemeinerung

Ist ein Ring und $I\subseteq A$ ein Ideal, so heißen Mengen der Form

$a+I=\{a+i\mid i\in I\}$

Restklassen modulo . Ist kommutativ, oder ist ein zweiseitiges Ideal, so hat die Menge A/I der Restklassen modulo eine natürliche Ringstruktur und heißt Restklassenring, Quotientenring oder Faktorring modulo . A/I wird durch Elemente in repräsentiert, wobei die Restklassen a+I und b+I in A/I übereinstimmen, falls $a-b \in I$ gilt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de