Alpha-stabile Verteilungen

Dichtefunktionen einiger symmetrischer α-stabiler Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n},X unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt

X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}\sim c_{n}X für alle  n \in \mathbb{N} und eine Folge (c_{n})_{{n\in \mathbb{N} }},

so nennt man X stabil verteilt, wobei \sim als "hat dieselbe Verteilung wie" zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl c_{n}=n^{{1/\alpha }},\alpha \in (0,2] ist. Die reelle Zahl \alpha nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy-stabile Verteilungen.

Beispiele

Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes \alpha des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:

X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal  {N}}(0,\sigma ^{2})\Rightarrow \sum _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim {\mathcal  {N}}(0,n\sigma ^{2})\sim n^{{1/2}}{\mathcal  {N}}(0,\sigma ^{2}). Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter \alpha =2.
X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {{\rm {Cauchy}}}(0,a)\Rightarrow \sum _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim n\,{{\rm {Cauchy}}}(0,a)
sie ist also stabil mit Formparameter \alpha =1.

Eigenschaften

α-stabile Verteilungen für unterschiedliche Werte des Schiefeparameters
\psi _{{\alpha ,\beta }}(u)=\exp \left(-|u|^{\alpha }\left(1-i\beta \tan \left({\frac  {\pi \alpha }{2}}\right)\operatorname{sgn}(u)\right)\right).
Der Parameter \beta \in [-1,1] ist hierbei frei wählbar und heißt Schiefeparameter.
Für \alpha =1 ergibt sich
\psi _{{\alpha ,\beta }}(u)=\exp \left(-|u|\left(1+i\beta {\frac  {2}{\pi }}\log(|u|)\operatorname{sgn}(u)\right)\right).

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 15.02. 2021