Alpha-stabile Verteilungen
Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt
- für alle und eine Folge ,
so nennt man stabil verteilt, wobei als "hat dieselbe Verteilung wie" zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl ist. Die reelle Zahl nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy-stabile Verteilungen.
Beispiele
Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:
- Die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 ist stabil mit Formparameter , denn bekanntlich gilt
- . Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter .
- Die zentrierte Cauchy-Verteilung erfüllt die Gleichung
- sie ist also stabil mit Formparameter .
- Die (eigentliche) Standard-Lévy-Verteilung ist stabil mit .
Eigenschaften
- Die charakteristische Funktion einer α-stabilen Verteilung ist für gegeben durch
-
- .
- Der Parameter ist hierbei frei wählbar und heißt Schiefeparameter.
- Für
ergibt sich
- .
- Endliche Varianz existiert nur für . Dies folgt unmittelbar aus dem zentralen Grenzwertsatz.
- Für hat die Verteilung den Erwartungswert 0, für existiert kein Erwartungswert. Dies folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen.
- Alle α-stabilen Verteilungen sind unendlich teilbar und selbstähnlich („selfdecomposable“).
Literatur
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 16.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 15.02. 2021