Asymptotische Dimension

In der Mathematik ist die asymptotische Dimension eine Invariante metrischer Räume, die vor allem in der geometrischen Gruppentheorie von Bedeutung ist.

Definition

Die asymptotische Dimension $\operatorname {asdim} (X)$ eines metrischen Raumes ist die kleinste natürliche Zahl mit folgender Eigenschaft:

für jedes R>0 gibt es eine Überdeckung von durch offene Mengen $U_{\alpha }$ von beschränktem Durchmesser, so dass für jedes $x\in X$ die metrische Kugel $B(x,R)$ höchstens n+1 dieser Mengen schneidet.

Die asymptotische Dimension eines kompakten Raums ist 0.
Die asymptotische Dimension des euklidischen Raums $\mathbb {R} ^{n}$ ist .
Die asymptotische Dimension eines Gromov-hyperbolischen Raums ist $1+\dim(\partial _{\infty }X)$ , wobei $\partial _{\infty }X$ den Rand im Unendlichen bezeichnet.

Aus $Y\subset X$ folgt $\operatorname {asdim} (Y)\leq \operatorname {asdim} (X)$ .
Die asymptotische Dimension ist invariant unter Quasi-Isometrien und allgemeiner unter groben Isometrien.
Für Produkträume gilt $\operatorname {asdim} (X\times Y)\leq \operatorname {asdim} (X)+\operatorname {asdim} (Y)$ .
Satz von Bell-Dranishnikov: Sei ein geodätischer metrischer Raum, $f\colon X\to Y$ eine Lipschitz-stetige Abbildung und für alle und alle $y\in Y$ sei $\operatorname {asdim} (f^{-1}(B(y,R)))\leq n$ , dann gilt $\operatorname {asdim} (X)\leq \operatorname {asdim} (Y)+n$ .

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