Bedingte Verteilung

Die bedingte Verteilung von Zufallsvariablen ist in der Stochastik eine Möglichkeit, eine multivariate Verteilung mithilfe der Randverteilungen so abzuändern, dass die neu entstandene Verteilung schon vorhandenes Wissen über die Werte von einer oder mehreren Zufallsvariablen berücksichtigt. Bedingte Verteilungen spielen eine wichtige Rolle in der Bayesschen Statistik, beispielsweise zur Definition der A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten. Die bedingte Verteilung basiert auf dem Konzept der (elementaren) bedingten Wahrscheinlichkeit und weist daher Defizite bezüglich Allgemeingültigkeit und im Umgang mit Nullmengen auf. Die wesentlich allgemeinere reguläre bedingte Verteilung, welche auf dem bedingten Erwartungswert aufbaut, hat diese strukturellen Probleme nicht, ist aber auch weitaus technischer.

Definition

Diskreter Fall

Gegeben sei eine zweidimensionale Zufallsvariable Z=(X,Y) auf $\mathbb {Z} ^{2}$ mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x,y) sowie die Randverteilung bezüglich und entsprechender Randwahrscheinlichkeitsfunktion $f_{Y}(y)$ . Dann heißt für $P(Y=y)>0$ die Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion

$f(x|y):={\frac {P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}}={\frac {f(x,y)}{f_{Y}(y)}}$

die bedingte Verteilung von gegeben $Y=y$ , die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird auch bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt. Das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß wird meist mit $P_{X|Y=y}$ bezeichnet.

Stetiger Fall

Gegeben sei eine Zufallsvariable $Z=(X,Y)$ auf $\mathbb{R} ^{2}$ . Die Zufallsvariable, welche als Verteilungsfunktion die bedingte Verteilungsfunktion

$F(x|y)=\lim _{h\downarrow 0}P(X\leq x|y\leq Y\leq y+h)$

besitzt, heißt die bedingte Verteilung von gegeben $Y=y$ .

Existiert eine gemeinsame Dichte f(x,y) von und und existiert die Randdichte $f_{Y}(y)$ bezüglich und ist ungleich null, so hat die bedingte Verteilung die bedingte Dichte

$f(x|y)={\frac {f(x,y)}{f_{Y}(y)}}$ .

Beispiel

Betrachte als Beispiel eine multinomialverteilte Zufallsvariable Z=(X,Y) , also $Z\sim M(n,(p,1-p))$ . Sie besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

$f_Z(x,y) \;=\; \begin{cases} {n \choose x,y} \; p^{x} (1-p)^y & \mbox{wenn } x+y = n \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases}$ ,

die Randwahrscheinlichkeit bezüglich ist binomialverteilt, also ist

$f_{X}(x)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{(n-x)}$ .

Für die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion ergibt sich dann

$f(y|x)={\frac {f_{Z}(x,y)}{f_{X}(x)}}={\begin{cases}1&{\text{ falls }}y=n-x\\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}$ .

Dies ist nicht verwunderlich, da die beiden Zufallsvariablen über $x+y=n$ miteinander gekoppelt sind. Die Summe der Erfolge muss immer ergeben, daher bestimmt auch das Ergebnis von bereits das Ergebnis von . Somit ist hier die bedingte Wahrscheinlichkeit deterministisch.

Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.de