Verlustfunktion (Statistik)

Eine Verlustfunktion (engl. loss function) ist eine spezielle Funktion in der mathematischen Statistik und Teil eines statistischen Entscheidungsproblemes. Sie ordnet jeder Entscheidung in Form einer Punktschätzung, einer Bereichsschätzung oder eines Tests den Schaden zu, der durch eine vom wahren Parameter abweichende Entscheidung entsteht. Gemeinsam mit der Entscheidungsfunktion wird die Verlustfunktion zur Risikofunktion kombiniert, die den potentiellen Schaden bei Verwendung einer Entscheidungsfunktion angibt.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell (X,{\mathcal  A},(P_{\vartheta })_{{\vartheta \in \Theta }}) und ein Entscheidungsraum (\Omega ,\Sigma ). Dann heißt eine Funktion L:\Theta \times \Omega \to [0,+\infty ] eine Verlustfunktion, wenn für jedes fixierte \vartheta \in \Theta die Funktion L(\vartheta ,\cdot ) \Sigma -{\mathcal  B}([0,+\infty ])-messbar ist. Das L steht dabei für loss, englisch für Verlust.

Die Verlustfunktion gibt den Verlust bei Vorliegen des Parameters \vartheta an, wenn man sich für \omega \in \Omega entscheidet.

Klassische Verlustfunktionen

Gegeben sei die Parameterfunktion g von der Parametermenge  \Theta in die Entscheidungsmenge  \Omega , also g:\Theta \to \Omega und eine Norm \Vert \cdot \Vert auf der Entscheidungsmenge. Meist ist g(\vartheta )=\vartheta .

Laplace- und Gauß-Verlust

Eine typische Verlustfunktion ist dann

L_{r}(\vartheta ,\omega ):=\Vert \omega -g(\vartheta )\Vert ^{r}

für ein r>0. Ist r=1, also

L_{1}(\vartheta ,\omega ):=\Vert \omega -g(\vartheta )\Vert ,

so spricht man vom Laplace-Verlust. Ist r=2, also

L_{2}(\vartheta ,\omega ):=\Vert \omega -g(\vartheta )\Vert ^{2},

so spricht man vom Gauß-Verlust.

Wählt man in der Schätztheorie den Gauß-Verlust, so vereinfacht sich die L-Unverfälschtheit zur Erwartungstreue und die Risikofunktion zum mittleren quadratischen Fehler. Analog wird bei Wahl des Laplace-Verlusts die L-Unverfälschtheit zur Median-Unverfälschtheit und die Risikofunktion zum Mittleren betraglichen Fehler.

0-1-Verlust

Eine weitere wichtige Verlustfunktion ist der sogenannte 0-1-Verlust. Er ist definiert als

L_{\varepsilon }(\vartheta ,\omega ):={\begin{cases}1&{\text{ falls }}\Vert \omega -g(\vartheta )\Vert >\varepsilon \\0&{\text{ falls }}\Vert \omega -g(\vartheta )\Vert \leq \varepsilon \end{cases}}

für ein \varepsilon >0. Er bestraft alle Entscheidungen, die nahe genug an der „richtigen“ Entscheidung liegen, überhaupt nicht und alle, die einen gewissen Abstand zu ihr überschreiten, gleich stark. Im Rahmen von den mengenwertigen Bereichsschätzern wird der 0-1-Verlust dann auch definiert als

L(\vartheta ,\omega ):={\begin{cases}1&{\text{ falls }}g(\vartheta )\notin \omega \\0&{\text{ falls }}g(\vartheta )\in \omega \end{cases}},

da die Entscheidungen \omega dann Mengen und keine einzelnen Werte mehr sind.

Neyman-Pearson-Verlustfunktion

Für statistische Tests verwendet man eine Abwandlung des 0-1-Verlustes, die sogenannten Neyman-Pearson-Verlustfunktion. Ist \Theta =\Theta _{0}\cup \Theta _{1} eine Zerlegung des Parameterraumes in Hypothese \Theta _{0} und Alternative \Theta _{1} sowie  a_0 die Entscheidung für die Hypothese und a_{1} die Entscheidung für die Alternative, so wird die Verlustfunktion definiert durch

L(\vartheta ,a_{0})={\begin{cases}0&{\text{ falls }}\vartheta \in \Theta _{0}\\L_{1}&{\text{ falls }}\vartheta \in \Theta _{1}\end{cases}}
L(\vartheta ,a_{1})={\begin{cases}0&{\text{ falls }}\vartheta \in \Theta _{1}\\L_{0}&{\text{ falls }}\vartheta \in \Theta _{0}\end{cases}}.

Dabei ist L_{0},L_{1}>0. L_{0} entspricht dann dem Verlust bei einem Fehler 1. Art, L_{1} bei einem Fehler 2. Art.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 09.01. 2022