Asymmetrische Relation

Asymmetrisch heißt eine zweistellige Relation auf einer Menge, wenn es mit xRy kein Paar (x,y) gibt, für das auch die Umkehrung yRx gilt.

Die Asymmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine (irreflexive) Striktordnung.

Definition

Ist eine Menge und $R\subseteq M\times M$ eine zweistellige Relation auf , dann heißt asymmetrisch, wenn

$\forall x,y\in M:xRy\Rightarrow \neg (yRx)$ gilt.

Nicht symmetrische Relation

Ist eine Relation, die nicht symmetrisch ist, dann gibt es wenigstens ein Paar, für das die Umkehrrelation $R^{-1}$ nicht zutrifft; so gilt

$\exists x,y\in M:xRy\land \neg (yRx)$ .

Eine nicht leere asymmetrische Relation ist also niemals symmetrisch. Eine asymmetrische Relation ist zudem stets irreflexiv. Von der Asymmetrie zu unterscheiden ist damit der Begriff der Antisymmetrie, die auch Reflexivität erlaubt. Eine asymmetrische Relation ist somit ein Sonderfall einer antisymmetrischen Relation.

Beispiele

Asymmetrisch sind

die Relation „ist (echt) kleiner als“ auf den reellen Zahlen, die darüber hinaus eine strenge Totalordnung ist. Gleiches gilt für die Relation $>\$ „ist (echt) größer als“.
die Relation $\subset$ „ist echte Teilmenge von“ und ebenfalls die Relation $\supset$ „ist echte Obermenge von“ als Beziehungen zwischen Mengen. Sie sind in einem System von Mengen oder von Teilmengen einer gegebenen Menge darüber hinaus eine strenge Halbordnung.

Eigenschaften

Jede asymmetrische Relation ist eine nicht symmetrische Relation und auch eine antisymmetrische Relation.

Für die asymmetrische Relation und deren konverse Relation $R^{-1}$ ist der Schnitt leer, sie sind disjunkt:

$R\cap R^{{-1}}=\emptyset$
Jede Teilmenge einer asymmetrischen Relation ist wieder asymmetrisch.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de