Binomische Reihe

Die binomische Reihe ist die im binomischen Lehrsatz

(1+x)^{\alpha }=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\alpha  \choose k}x^{k}

auf der rechten Seite stehende Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet wurde.

Ist \alpha ganzzahlig und \alpha \geq 0, so bricht die Reihe nach dem Glied k=\alpha ab und besteht dann nur aus einer endlichen Summe. Für nicht ganzzahliges \alpha und für \alpha <0 liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von (1+x)^{\alpha } mit Entwicklungspunkt 0.

Geschichte

Die Entdeckung der Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form (a+b)^{n} kann heute Omar Alchaijama aus dem Jahr 1078 zugeordnet werden.

Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl \alpha und alle reellen x im Intervall \left]-1,1\right[ das Binom (1+x)^{{\alpha }} darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe \alpha ,x\in {\mathbb  C}; er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls \alpha \in {\mathbb  C}\setminus {\mathbb  N} gilt.

Verhalten am Rand des Konvergenzkreises

Es sei |x|=1 und \alpha \in {\mathbb  {C}}\setminus {\mathbb  {N}}.

Beziehung zur geometrischen Reihe

Setzt man \alpha=-1 und ersetzt x durch -x so erhält man

{\frac  {1}{1-x}}=\sum _{{k=0}}^{\infty }{-1 \choose k}(-x)^{k}\,.

Da {\tbinom  {-1}{k}}=(-1)^{k} ist, lässt sich diese Reihe auch schreiben als \textstyle \sum _{{k=0}}^{\infty }x^{k}. Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

Beispiele

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 27.02. 2017