Untermannigfaltigkeit des ℝⁿ

In der Mathematik sind Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ (auch: Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums) ein Begriff aus der Analysis und der Differentialgeometrie. Da die Untermannigfaltigkeiten Teilmengen eines euklidischen Raumes sind, erben sie von diesem viele Eigenschaften wie zum Beispiel die Möglichkeit Abstände zu messen. Jedoch kann man jede Untermannigfaltigkeit auch als abstrakte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne umgebenden Raum) betrachten. Die Äquivalenz der beiden Sichtweisen wird durch den Einbettungssatz von Whitney sichergestellt.

Ausgewählte Beispiele, in denen Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ > eine Rolle spielen, sind:

Optimierung unter Nebenbedingungen
Mechanische Systeme mit Zwangsbedingungen
Algebro-Differentialgleichungssysteme, beispielsweise bei der numerischen Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik

In all diesen Anwendungen wird die Menge der betrachteten Punkte von vornherein auf eine Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ eingeschränkt, die sich lokal durch Diffeomorphismen auf Gebiete eines $\mathbb {R} ^{m}$ mit $0\leq m\leq n$ abbilden lässt. Diese Teilmenge wird als -dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet. Mit Hilfe der Diffeomorphismen kann man auf der Untermannigfaltigkeit im differentialgeometrischen Sinne genauso rechnen wie in Gebieten des $\mathbb {R} ^{m}$ .

Meistens wird die Menge durch Nebenbedingungen beschrieben. Das heißt, enthält gerade diejenigen Punkte , die mit einer vorgegeben stetig differenzierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n-m}$ mit 0<m<n die Gleichung

erfüllen. Außerdem wird noch gefordert, dass $0$ ein regulärer Wert von ist, also die Jacobi-Matrix Df(x) von für alle Punkte $x\in M$ den Maximalrang $\left.n-m\right.$ hat.

Die letzte Bedingung sichert die Anwendbarkeit des Satzes über implizite Funktionen. Dieser besagt, dass es zu jedem Punkt $\bar{x}\in M$ eine $\mathbb {R} ^{n}$ -Umgebung $U_{\bar{x}}$ von ${\bar {x}}$ gibt, in der die Punkte $x\in U_{\bar{x}}\cap M$ schon eindeutig durch Koordinaten parametrisiert sind. Die Abbildung, die $x\in U_{\bar{x}}\cap M$ auf die zur Parametrisierung benötigten Koordinaten projiziert, ist ein Beispiel für eine Kartenabbildungen und $U_{\bar{x}}\cap M$ ist das zugehörige Kartengebiet. Da es zu jedem Punkt $\bar{x}\in M$ eine Kartenabbildung gibt, kann man ganz mit den zugehörigen Kartengebieten überdecken. Eine Menge solcher Karten, mit deren Kartengebieten man überdecken kann, ist ein Beispiel für einen Atlas.

Mit Hilfe der Kartenabbildungen kann man auf lokal wie im $\mathbb {R} ^{m}$ rechnen. Das motiviert, dass die natürliche Zahl Dimension von genannt wird und als -dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet wird.

Beispiel

Kartengebiete und Projektionen als Kartenabbildungen für die eindim. Einheitssphäre

Die Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{n}$ wird mit der stetig differenzierbaren Funktion $f(x):=\|x\|^2-1$ durch die Gleichung f(x)=0 beschrieben. Die Jacobi-Matrix Df(x) = 2x^T hat für $x\in\R^n$ mit $\|x\|=1$ ihren Maximalrang eins. Also ist

$M:=\{x\in\R^n\mid \|x\|^2-1=0\}$

eine (n - 1) - dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ . In jedem Punkt $\bar{x}\in M$ ist mindestens eine Koordinate $\bar{x}_k$ ungleich Null. Für $\bar{x}_k>0$ kann man mit $U^{k+}_{\bar{x}}=\{x\in\R^n\mid x_k >0\}$ die Menge

$M\cap U^{k+}_{\bar{x}}=\{x\in\R^n\mid \|x\|=1,\,x_k >0\}$

als Kartengebiet nutzen und für $\bar{x}_k<0$ mit $U^{k-}_{\bar{x}}=\{x\in\R^n\mid x_k <0\}$ die Menge

$M\cap U^{k-}_{\bar{x}}=\{x\in\R^n\mid \|x\|=1,\,x_k <0\}$ .

Die Abbildungen

$\phi_{k+}\colon M\cap U^{k+}_{\bar{x}} \to \R^{n-1}$

$\phi_{k-}\colon M\cap U^{k-}_{\bar{x}} \to \R^{n-1}$

mit

$\phi_{k+}(x)=\phi_{k-}(x)=(x_1,\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n})$

eignen sich dann als Karten für diese Gebiete.

Am einfachsten zu veranschaulichen ist dieses Vorgehen für die eindimensionale Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{2}$ . Im nebenstehenden Bild sind die vier Kartengebiete als dick durchgezogene Linien eingezeichnet. Die Vereinigung der Kartengebiete überdeckt die gesamte Einheitssphäre, also bilden diese Karten zusammen einen Atlas. Die jeweils zu den Kartengebieten gehörigen Flachmacher sind durch einen kleinen Pfeil angedeutet. Die Bilder der Kartengebiete sind dick gestrichelt.

Für die zweidimensionale Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{3}$ benötigt man schon zwei Koordinaten zur eindeutigen Parametrisierung der Punkte in den Kartengebieten. Zum Beispiel wählt man für $\bar{x}_1>0$ die Menge $U_{\bar{x}} := \{ x\in\R^3\mid x_1>0 \},$ und als Kartenabbildung $\phi(x) = (x_2,x_3)$ .

Auch das Möbiusband hat lokal Eigenschaften wie ein Gebiet des $\mathbb {R} ^{2}$ und soll deshalb auch als zweidimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{3}$ bezeichnet werden können. Wäre das Möbiusband als Urbild eines regulären Wertes einer stetig differenzierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ darstellbar, so müsste der senkrecht auf stehende stetige Gradient dieser Funktion überall in eine Richtung zeigen (als z.B. von der Vorderseite wegzeigen). Das geht jedoch nicht, da das Möbiusband keine Vorder- oder Rückseite hat. Deshalb muss die Definition der differenzierbaren Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ etwas allgemeiner gefasst werden.

Definition einer Untermannigfaltigkeit des euklidischen Raums

Eine Menge $M\subset\R^n$ ist eine -dimensionale -mal stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ , wenn es zu jedem Punkt $\bar{x}\in M$ eine $\mathbb {R} ^{n}$ -Umgebung $U_{\bar{x}}$ und eine -mal stetig differenzierbare Funktion $f_{\bar {x}}\colon U_{\bar {x}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n-m}$ mit regulärem Wert 0 gibt, so dass $f_{\bar{x}}^{-1}(\{0\})=M\cap U_{\bar{x}}$ gilt.

Wichtige Aussagen

Äquivalent dazu ist: Eine Menge $M\subset\R^n$ ist genau dann eine -mal stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ , wenn es zu jedem Punkt $\bar{x}\in M$ einen lokalen Flachmacher gibt, d.h., zu ${\bar {x}}$ existieren eine $\mathbb {R} ^{n}$ -Umgebung $U_{\bar{x}}$ und ein $C^{k}$ Diffeomorphismus $f\colon U_{\bar {x}}\rightarrow f(U_{\bar {x}})\subset \mathbb {R} ^{n}$ so dass für alle $x\in U_{\bar {x}}$ gilt: $f_{m+1}(x)=\ldots=f_{n}(x)=0$ genau dann, wenn $x\in M$ .

Eine reguläre Parameterdarstellung ist eine stetig differenzierbare Funktion , die ein Gebiet $\Omega$ des $\mathbb {R} ^{m}$ in den $\mathbb {R} ^{n}$ $(n,m\in\N, m<n)$ abbildet und deren Jacobi-Matrix Dg(p) für jeden Parameter $p\in\Omega$ den Maximalrang $f_{\bar {x}}\colon U_{\bar {x}}\rightarrow f(U_{\bar {x}})$ ein lokaler Flachmacher einer Mannigfaltigkeit , so ist $g:=\Big( \mathrm{pr}_{1:m} f_{\bar{x}}|(U_{\bar{x}}\cap M) \Big)^{-1}$ eine reguläre Parameterdarstellung, die zumindest den Teil $U_{\bar{x}}\cap M$ von parametrisiert. Dabei projiziert $\mathrm {pr} _{1:m}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit $\mathrm{pr}_{1:m}(x)=(x_1,\ldots,x_m)$ auf die wesentlichen Komponenten des lokalen Flachmachers.

Beispiel für eine Immersion, deren volles Bild keine Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ ist

Lokal kann man durch reguläre Parameterdarstellungen auch Mannigfaltigkeiten definieren: Ist $g\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine reguläre Parameterdarstellung und $p\in\Omega$ beliebig, so existiert eine Umgebung $U_p\subset\Omega$ von , so dass das Bild $g(U_p)\subset\R^n$ von U_p unter eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ darstellt.

Beispiel

Die rechts veranschaulichte Immersion $g\colon (-\pi /2,3\pi /2)\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ mit $g(p):=\big(2\cos(p),\sin(2p)\big)$ ist ein Beispiel dafür, dass die vorstehende Aussage nicht notwendigerweise auf das volle Bild einer Immersion verallgemeinerbar ist (sogar dann nicht, wenn, wie in diesem Beispiel, die Immersion injektiv ist). Die Menge $M:=g{\big (}(-{\frac {\pi }{2}},3{\frac {\pi }{2}}){\big )}$ ist lokal um den Punkt (0,0) nicht diffeomorph zu einem Intervall der reellen Achse und stellt somit keine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ dar.

Tangentialvektoren/Tangentialraum/Tangentialbündel

Tangentialvektor an in $x\in M$ definiert als Geschwindigkeitsvektor einer Kurve $\gamma$ durch sowie Tangentialraum an den Punkt

Sei eine -dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ und $x\in M$ . Ein Vektor $v\in \mathbb{R} ^{n}$ heißt Tangentialvektor an im Punkt , falls es eine differenzierbare Kurve $\gamma \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow M$ mit $\left.\gamma(0)=x\right.$ und $\dot\gamma(0)=v$ gibt.

Betrachtet man $t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )\mapsto \gamma (t)$ als Bahnkurve eines sich auf der Untermannigfaltigkeit bewegenden Teilchens, so passiert dieses Teilchen zur Zeit t=0 den interessierenden Punkt gerade mit der Geschwindigkeit .

Die Menge T_x M aller Tangentialvektoren an im Punkt $x\in M$ ist ein -dimensionaler linearer Raum und wird als Tangentialraum an im Punkt bezeichnet.

Definitionsgemäß lässt sich die Untermannigfaltigkeit in einer Umgebung $U_{\bar{x}}$ des Punktes $\bar{x}\in M$ als reguläre Nullstelle einer Funktion $f\colon U_{\bar {x}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n-m}$ darstellen. Sei $\gamma \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow U_{\bar {x}}\cap M$ eine beliebige stetig differenzierbare Kurve mit $\gamma(0)=\bar{x}$ . Da diese auf der Mannigfaltigkeit verläuft, erfüllt sie die Gleichung $f(\gamma(t))=0$ . Ableiten nach an der Stelle t=0 ergibt $D f(\gamma(t))\dot\gamma(t)|_{t=0}=0$ , woraus folgt:

Der Tangentialraum T_x M ergibt sich gerade als Kern der zu gehörigen Jacobi-Matrix $D f(\bar{x})$ , das heißt, es gilt $T_{\bar{x}} M=\{v\in\R^n\mid D f(\bar{x}) v = 0\}$ .

Hat man eine (lokale) reguläre Parameterdarstellung $g\colon \Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\rightarrow M$ gegeben, die einen Parameterpunkt $p\in\Omega$ in $x\in M$ abbildet, so lässt sich der Tangentialraum an in auch als volles Bild der zugehörigen Jacobi-Matrix Dg(p) darstellen:

$T_x M = \{ Dg(p)u \mid u\in\R^m \}.$

Die Relation $T M := \{ (x,v)\in M\times \R^n\mid v\in T_x M \}$ , die jedem Punkt $x\in M$ alle Tangentialvektoren an in diesem Punkt zuordnet, heißt Tangentialbündel von .

Sei eine mindestens zweimal stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ und $\bar{x}\in M$ beliebig. Aus einer lokalen Darstellung $M\cap U_{\bar{x}} = \{ x\in U_{\bar{x}}\mid f(x) = 0 \}$ von in einer Umgebung $U_{\bar{x}}$ von ${\bar {x}}$ lässt sich eine lokale Darstellung von konstruieren:

$TM \cap (U_{\bar{x}}\times\R^n) = \{ (x,v)\in U_{\bar{x}}\times\R^n \mid f(x)=0 \text{ und } Df(x)v = 0 \}.$

Damit ist eine -dimensionale (mindestens einmal) stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{2n}$ (im Sinne der üblichen Identifikation des $\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}$ mit dem $\mathbb {R} ^{2n}$ ).

Literatur

Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de

Untermannigfaltigkeit des ℝn

Beispiel

Definition einer Untermannigfaltigkeit des euklidischen Raums

Wichtige Aussagen

Beispiel

Tangentialvektoren/Tangentialraum/Tangentialbündel

Literatur

Untermannigfaltigkeit des ℝⁿ