Hyperbolische Mannigfaltigkeit
In der Mathematik sind hyperbolische Mannigfaltigkeiten Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit konstanter negativer Schnittkrümmung. Sie spielen eine wichtige Rolle in der niedrig-dimensionalen Topologie, insbesondere in Thurstons Geometrisierungsprogramm.
Definition
Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant . (Eine Riemannsche Metrik mit Schnittkrümmung konstant heißt hyperbolische Metrik. Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist also eine Mannigfaltigkeit mit einer vollständigen hyperbolischen Metrik.)
Äquivalente Definition 1: Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zum hyperbolischen Raum ist.
Äquivalente Definition 2: Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Form , wobei der hyperbolische Raum und eine diskrete Untergruppe der Gruppe der Isometrien des hyperbolischen Raumes ist.
Hyperbolische Monodromie
Weil der hyperbolische Raum zusammenziehbar ist, muss die in Definition 2 verwendete Gruppe isomorph zur Fundamentalgruppe sein. Die sich aus Definition 2 ergebende Darstellung wird auch als Monodromiedarstellung oder hyperbolische Monodromie bezeichnet.
Im Fall orientierbarer Mannigfaltigkeiten bildet die Monodromiedarstellung nach ab.
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 07.04. 2023