Hyperbolische Mannigfaltigkeit

In der Mathematik sind hyperbolische Mannigfaltigkeiten Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit konstanter negativer Schnittkrümmung. Sie spielen eine wichtige Rolle in der niedrig-dimensionalen Topologie, insbesondere in Thurstons Geometrisierungsprogramm.

Definition

Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit M ist eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant -1. (Eine Riemannsche Metrik mit Schnittkrümmung konstant -1 heißt hyperbolische Metrik. Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist also eine Mannigfaltigkeit mit einer vollständigen hyperbolischen Metrik.)

Äquivalente Definition 1: Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zum hyperbolischen Raum ist.

Äquivalente Definition 2: Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit M der Form \Gamma \backslash {\mathbb  H}^{n}, wobei \mathbb H^n der hyperbolische Raum und {\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {Isom} (\mathbb {H} ^{n})} eine diskrete Untergruppe der Gruppe der Isometrien des hyperbolischen Raumes ist.

Hyperbolische Monodromie

Weil der hyperbolische Raum zusammenziehbar ist, muss die in Definition 2 verwendete Gruppe \Gamma isomorph zur Fundamentalgruppe \pi _{1}M sein. Die sich aus Definition 2 ergebende Darstellung {\displaystyle \rho \colon \pi _{1}M\to \operatorname {Isom} ({\mathbb {H} }^{n})=O_{0}(n,1)} wird auch als Monodromiedarstellung oder hyperbolische Monodromie bezeichnet.

Im Fall orientierbarer Mannigfaltigkeiten bildet die Monodromiedarstellung nach {\displaystyle \operatorname {Isom} ^{+}(H^{n})=SO_{0}(n,1)} ab.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 07.04. 2023