Casimir-Operator
Der Casimir-Operator (auch Casimir-Invariante, benannt nach dem Physiker Hendrik Casimir) wird im mathematischen Teilgebiet der Algebra und der Differentialgeometrie untersucht. Er ist ein spezielles Element aus dem Zentrum der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra. Ein typisches Beispiel ist der quadrierte Drehimpulsoperator, der eine Casimir-Invariante der dreidimensionalen Drehgruppe ist.
Definition
Angenommen, ist eine -dimensionale halbeinfache Lie-Algebra. Sei
irgendeine Basis von und
sei die Dualbasis von hinsichtlich einer festen invarianten Bilinearform (z.B. der Killingform) auf . Das quadratische Casimir-Element ist das durch die Formel
gegebene Element der universellen einhüllenden Algebra . Obschon sich die Definition des Casimir-Elements auf die direkte Wahl einer Basis in der Lie-Algebra bezieht, ist es einfach zu zeigen, dass das erzeugte Element davon unabhängig ist. Darüber hinaus impliziert die Invarianz der Bilinearform, die in der Definition benutzt wurde, dass das Casimir-Element mit allen Elementen der Lie-Algebra kommutiert und daher im Zentrum der universellen einhüllenden Algebra liegt.
Sei eine beliebige Darstellung der Lie-Algebra auf einem (gegebenenfalls unendlichdimensionalen) Vektorraum . Dann ist die korrespondierende quadratische Casimir-Invariante der durch
gegebene lineare Operator auf .
Anwendungen
Ein Sonderfall dieser Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Operiert eine zusammenhängende Lie-Gruppe mit zugehöriger Lie-Algebra auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , so werden die Elemente von durch Differentialoperatoren erster Ordnung auf beschrieben. Sei die Darstellung auf dem Raum der glatten Funktionen auf . In diesem Fall ist die durch obige Formel gegebene Casimir-Invariante der -invariante Differentialoperator zweiter Ordnung auf .
Man kann noch allgemeinere Casimir-Invarianten definieren; dies geschieht beispielsweise bei Untersuchungen von Pseudo-Differentialoperatoren in der Fredholm-Theorie.
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.01. 2020