Absolutkonvexe Menge
Absolutkonvexe Mengen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der lokalkonvexen Räume, da sie in natürlicher Weise zu Halbnormen führen.
Definition
Eine Teilmenge A eines reellen oder komplexen Vektorraums heißt absolutkonvex, wenn für alle mit und alle stets gilt. Damit ist A genau dann absolutkonvex, wenn A ausgewogen und konvex ist. (Dabei steht für den Körper der reellen oder komplexen Zahlen.)
Beziehung zu Halbnormen
Ist U eine absolutkonvexe Nullumgebung des topologischen Vektorraums E, so definiert eine Halbnorm auf E. Es gilt
- .
Man nennt auch das Minkowski-Funktional zu U.
Leicht zeigt man, dass jeder lokalkonvexe Vektorraum eine Nullumgebungsbasis aus absolutkonvexen Mengen besitzt. Mit Hilfe der Minkowski-Funktionale kann man die Topologie also auch durch Halbnormen beschreiben. Dies klärt den Zusammenhang zwischen den beiden im Artikel über lokalkonvexe Räume gegebenen Definitionen.
Absolutkonvexe Hülle
Da Durchschnitte absolutkonvexer Mengen offenbar wieder absolutkonvex sind, ist jede Menge M eines reellen oder komplexen Vektorraums in einer kleinsten absolutkonvexen Menge enthalten. Diese nennt man die absolutkonvexe Hülle von M. Es gilt
Literatur
- R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 978-3-528-07262-9
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 17.11. 2020