Ausgewogene Menge

Eine ausgewogene Menge bezeichnet in der Funktionalanalysis eine Teilmenge eines Vektorraumes, die sich dadurch auszeichnet, dass zu jedem Element der Menge auch das negative dieses Elementes in der Menge enthalten ist und die gesamte Verbindungsstrecke zwischen diesen beiden Elementen. Bei vielen Autoren finden sich auch die Bezeichnungen kreisförmig (engl. circled), scheibenförmig oder balanciert (engl. balanced).

Verwendung finden ausgewogene Mengen zum Beispiel bei der Definition von lokalkonvexen Räumen, wo Ausgewogenheit eine Eigenschaft der definierenden Nullumgebungsbasis ist.

Definition

Gegeben sei ein reeller oder komplexer Vektorraum . Eine Menge $T\subset V$ heißt eine ausgewogene Menge, wenn für alle Skalare mit $|r|\leq 1$ und alle $x\in T$ immer auch $rx\in T$ ist. Für alle $x\in T$ liegt die Strecke von nach also in .

Eigenschaften

Ist ausgewogen und nicht leer, so muss den Nullvektor enthalten, denn ist in , so ist $0 = 0\cdot x \in T$ .

In einem topologischen Vektorraum enthält jede Umgebung der Null auch eine ausgewogene Nullumgebung. Ist nämlich eine Nullumgebung, so gibt es wegen der Stetigkeit der Skalarmultiplikation ein $\varepsilon >0$ und eine Nullumgebung , so dass $r x \in U$ für alle $|r| < \varepsilon$ und alle in . Dann ist $\textstyle \bigcup_{|r| < \varepsilon} r V$ eine in enthaltene ausgewogene Nullumgebung.

In einem topologischen Vektorraum gibt es also stets eine Nullumgebungsbasis aus ausgewogenen Mengen. Hat man umgekehrt auf einem algebraischen Vektorraum ein System $\mathcal U$ von absorbierenden und ausgewogenen Mengen mit den Eigenschaften

Für alle $U\in {\mathcal U}, r>0$ gilt $rU\in{\mathcal U}$ ,
${{\mathcal U}}$ enthält mit je zwei Mengen auch deren Durchschnitt,
Für jedes $U\in {\mathcal U}$ gibt es ein $V\in {\mathcal U}$ mit $V+V\subset U$ ,
$\bigcap{\mathcal U} = \{0\}$ ,

so wird der Vektorraum mit ${{\mathcal U}}$ als Nullumgebungsbasis zu einem topologischen Vektorraum. Die Ausgewogenheit wird benötigt, um die Stetigkeit der skalaren Multiplikation zu zeigen.

Ausgewogene konvexe Mengen nennt man auch absolutkonvex. Sie spielen in der Theorie der lokalkonvexen Räume eine wichtige Rolle.

Literatur

K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8

Basierend auf einem Artikel in:

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