Determinantenfunktion
Eine Determinantenfunktion oder Determinantenform ist in der linearen Algebra eine spezielle Funktion, die einer Folge von Vektoren eines -dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.
Definition
Sei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper . Dann heißt eine Funktion Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:
- ist multilinear, d.h. linear in jeder Variablen:
- (Additivität)
- (Homogenität)
- ist alternierend:
Eigenschaften
- Eine Determinantenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation : , wobei das Signum der Permutation bezeichnet.
- Sind linear abhängig, so gilt . Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d.h. ) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.
- Sind zwei Determinantenfunktionen und , dann gibt es ein so, dass . Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinatenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstanten gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.
Beispiele
- Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinantenfunktion.
- , mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion.
- Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.
Literatur
- H. Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie. B.G. Teubner, Stuttgart 1997. ISBN 3-519-02230-3
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 18.12. 2020