Satz von Vitali (Maßtheorie)

Der Satz von Vitali (nach Giuseppe Vitali) besagt die Existenz einer Menge, die nicht Lebesgue-messbar ist. Man bezeichnet jede der durch den Beweis des Satzes von Vitali entstandenen Mengen auch als Vitali-Menge, diese gelten als Standardbeispiele für nicht-messbare Mengen. Die Existenz von Vitali-Mengen wird dabei nicht-konstruktiv unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms bewiesen, tatsächlich ist der Satz von Vitali sogar äquivalent zum Auswahlaxiom.

Die Bedeutung nicht-messbarer Mengen

Bestimmten Mengen kann eine Länge bzw. ein Maß zugeordnet werden. Dem Intervall [0,1] wird die Länge zugeordnet und allgemein einem Intervall [a, b] , a<b , die Länge b-a . Wenn wir solche Intervalle als Metallstangen auffassen, haben sie ebenso eine wohldefinierte Masse. Wenn die [0,1] -Stange $1\,\mathrm {kg}$ wiegt, wiegt die $[3,9]$ -Stange $6\,\mathrm {kg}$ . Die Menge $[0,1]\cup [2,3]$ ist aus zwei Intervallen der Länge eins zusammengesetzt, und ihre Gesamtlänge ist demnach , oder, wenn man es wieder auf Massen bezieht, zwei Stangen mit der Masse ergeben die Gesamtmasse .

Dabei stellt sich natürlicherweise die Frage: Wenn eine beliebige Teilmenge der reellen Achse ist, hat sie dann eine Masse bzw. Länge? Zum Beispiel können wir uns fragen, was das Maß der rationalen Zahlen ist. Diese liegen dicht in der reellen Achse, und damit ist es zunächst nicht klar, welches Maß man hier vernünftigerweise zuordnen will.

In dieser Situation stellt sich letztlich heraus, dass die sinnvolle Zuordnung das Maß $0$ ist – in Übereinstimmung mit dem, was das Lebesgue-Maß liefert, das dem Intervall [a, b] die Länge b-a zuordnet. Jede Menge mit wohldefiniertem Maß wird messbar genannt. Bei der Konstruktion des Lebesgue-Maßes (zum Beispiel über das äußere Maß) ist es zunächst nicht klar, ob nicht-messbare Mengen existieren.

Konstruktion und Beweis

Sind $x,y\in \mathbb{R}$ reelle Zahlen, für die $x-y\in \mathbb {Q}$ eine rationale Zahl ist, dann schreiben wir $x \sim y$ und nennen und äquivalent. In der Tat ist $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf der reellen Achse, zu jedem gibt es daher eine nicht-leere Teilmenge $[x]=\{y\in \mathbb {R} \mid x\sim y\}\subseteq \mathbb {R}$ - die Äquivalenzklasse von . Die Menge der Äquivalenzklassen bildet eine Partition von $\mathbb {R}$ . Das Auswahlaxiom erlaubt es uns, eine Menge $V\subset [0,1]$ auszuwählen, die genau einen Repräsentanten jeder Äquivalenzklasse enthält (für jede Äquivalenzklasse [x] enthält die Menge $V\cap [x]$ nur ein einziges Element). Wir nennen dann eine Vitali-Menge.

Die Vitali-Mengen sind nicht messbar. Um das zu zeigen, nehmen wir an, wäre messbar. Aus dieser Annahme schließen wir im Folgenden, dass die unendliche Summe $a+a+\dotsb$ immer derselben Zahl zwischen und liegt – das ist offensichtlich falsch und durch den Widerspruch ist die Annahme widerlegt.

Sei nun zunächst $q_{1},q_{2},\dots$ eine Abzählung der rationalen Zahlen in [-1, 1] (die rationalen Zahlen sind abzählbar). Die Mengen $V_{k}=\{v+q_{k}\mid v\in V\}$ , $k=1,2,\dotsc$ sind nach Konstruktion von paarweise disjunkt, außerdem ist

$[0,1]\subseteq \bigcup _{k}V_{k}\subseteq [-1,2].$

(Um die erste Inklusion einzusehen, betrachte man eine reelle Zahl aus [0,1] und einen Repräsentanten $v\in V$ der Äquivalenzklasse [x] , dann existiert eine rationale Zahl aus [-1, 1] sodass $x-v=q$ . Es ist $q=q_{l}$ für ein , also ist $x\in V_{l}$ .)

Aus der Definition Lebesgue-messbarer Mengen folgt, dass alle diese Mengen die folgenden beiden Eigenschaften haben:

1. Das Maß ist σ-additiv, das heißt für abzählbar viele paarweise disjunkte A_i gilt

$\mu \left(\bigcup _{{i=1}}^{{\infty }}A_{i}\right)=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\mu (A_{i}).$

2. Das Maß ist translationsinvariant, das heißt für reelle Zahlen gilt

$\mu (A)\,=\,\mu (A+x)$ .

Nun betrachtet man das Maß $\mu$ der oben angegebenen Vereinigung. Da $\mu$ σ-additiv ist, ist es auch monoton, das heißt $\mu (A)\leq \mu (B)$ für $A\subseteq B$ . Daraus folgt:

$1\leq \mu \left(\bigcup _{k}V_{k}\right)\leq 3.$

Wegen der σ-Additivität folgt, da die $V_{k}$ disjunkt sind:

$\mu \left(\bigcup _{k}V_{k}\right)=\sum _{{k=1}}^{\infty }\mu (V_{k})$

Wegen der Translationsinvarianz gilt für jedes $k=1,2,...,\mu (V_{k})=\mu (V)$ . Zusammen mit Obigem erhält man:

$1\leq \sum _{{k=1}}^{\infty }\mu (V)\leq 3.$

Diese unendliche Summe ein und derselben reellen Konstanten ist nichtnegativ. Falls die Konstante $0$ ist, so muss auch die Summe $0$ sein und ist daher sicher nicht größer oder gleich . Wenn der Term positiv ist, konvergiert die Summe nicht und ist insbesondere nicht kleiner oder gleich .

Damit erhält man den Widerspruch, und daher ist nicht messbar.

Folgerungen

Aus obiger Konstruktion folgt leicht, dass jede Menge mit positivem Lebesgue-Maß eine nicht-messbare Teilmenge besitzt., insbesondere ist also die Existenz nicht-messbarer Mengen zum Auswahlaxiom äquivalent.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de