Lebesgue-Zerlegung (Funktionen)

Die Lebesgue-Zerlegung einer reellen Funktion ist eine maßtheoretische Aussage, die eine Funktion in drei Funktionen mit klar definierten Eigenschaften zerlegt. Ein Spezialfall hiervon ist der Darstellungssatz aus der Stochastik. Er zerlegt Wahrscheinlichkeitsmaße auf \mathbb {R} über die Lebesgue-Zerlegung der Verteilungsfunktion auf eindeutige Weise in eine absolut stetigen, eine diskreten und einen stetigsingulären Teil.

Die Aussage wurde von Henri Léon Lebesgue 1904 gezeigt.

Aussage

Es sei \beta das Lebesgue-Borel-Maß. Gegeben sei eine monoton wachsende, rechtsseitig stetige Funktion

F\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} .

Dann ist  F \beta -fast überall differenzierbar und es bezeichne {\displaystyle F'} die \beta -fast überall definierte Ableitung.

Dann gilt: es existiert eine eindeutige Zerlegung

{\displaystyle F=A+S+D},

so dass

Für die zugehörigen Lebesgue-Stieltjes-Maße  \mu_F bzw. {\displaystyle \mu _{A},\mu _{S},\mu _{D}} gilt dann

{\displaystyle \mu _{F}=\mu _{A}+\mu _{S}+\mu _{D}}.

Des Weiteren gilt:

{\displaystyle \mu _{A}(M)=\int _{M}F'\mathrm {d} \beta }.

Darstellungssatz

Direkt aus der Lebesgue-Zerlegung folgt der Darstellungssatz. Dabei werden die Normierungsbedingungen {\displaystyle A(0)=S(0)=0} fallen gelassen, da Verteilungsfunktionen im Sinne der Stochastik schon über die Bedingungen \lim _{{x\to -\infty }}F(x)=0 und \lim _{{x\to \infty }}F(x)=1 festgelegt sind. Die Aussage lautet dann:

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf \mathbb {R} mit Verteilungsfunktion  F . Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\geq 0} mit {\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}=1}, so dass

{\displaystyle F=a_{1}A+a_{2}S+a_{3}D}.

Hierbei ist

Jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung kann also eindeutig in einen stetigen, eine diskreten und einen stetigsingulären Anteil aufgespalten werden.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 14.11. 2020