Schwache Konvergenz in L^p

Die schwache Konvergenz in ${\mathcal L}^{p}$ und die schwache Konvergenz in sind zwei eng miteinander verwandte Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen aus der Maßtheorie. Sie sind ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis für Folgen in L^p-Räumen. Zu beachten ist, dass es in der Maßtheorie und der Stochastik mehrere verschiedene Konzepte von schwacher Konvergenz gibt, diese sollten nicht miteinander verwechselt werden. In Abgrenzung zur schwachen Konvergenz in ${\mathcal L}^{p}$ oder $L^{p}$ wird die Norm-Konvergenz, also die Konvergenz im p-ten Mittel dann auch als starke Konvergenz in ${\mathcal L}^{p}$ oder $L^{p}$ bezeichnet.

Definition

Gegeben sei ein Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ sowie $p \in [1, \infty)$ und $q:={\tfrac {1}{1-1/p}}$ , also ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ mit ${\tfrac {1}{\infty }}=0$ , der zu konjugierte Index. Außerdem seien $f, (f_n)_{n \in \N}$ aus $\mathcal L^p(X,\mathcal{A},\mu)$ , kurz ${\mathcal L}^{p}$ , dem Raum der p-fach integrierbaren Funktionen. Die Funktionenfolge $(f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ heißt schwach konvergent gegen , wenn für alle $g \in \mathcal L^q$ gilt, dass

$\lim_{n \to \infty}\int_X f_n g \mathrm d \mu = \int_X fg \mathrm d \mu$

ist. Analog definiert man die schwache Konvergenz von Funktionen aus $L^{p}$ . Man schreibt dann in beiden Fällen $f_n \rightharpoonup f$ .

Einordnung

In der Funktionalanalysis versteht man unter schwacher Konvergenz Folgendes: Ausgehend von einem normierten Vektorraum bildet man den topologischen Dualraum

$V':=\{T\;|\;T\colon V\to \mathbb {K} {\text{ ist linear und stetig }}\}$ .

Eine Folge $(x_{n})_{n\in N}$ in heißt dann schwach konvergent gegen $x\in V$ , wenn

$\lim _{n\to \infty }T(x_{n})=T(x){\text{ für alle }}T\in V'$

ist. Betrachtet man nun als normierten Vektorraum den ${\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ für $p=(1,\infty )$ , so ist der Dualraum normisomorph zum ${\mathcal {L}}^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ (siehe auch Dualität von Lp-Räumen), wobei der zu konjugierte Index ist, also ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ . Jedes Element aus dem Dualraum ist dann von der Form

$T_{g}(\cdot )=\int g\cdot \mathrm {d} \mu {\text{ für ein }}g\in {\mathcal {L}}^{q}$ .

Somit ist eine Folge von $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {L}}^{p}$ schwach konvergent in $L^{p}$ , wenn

$\lim _{n\to \infty }T_{g}(f_{n})=T_{g}(f)$

für alle $g \in \mathcal L^q$ , was der oben angegebenen Definition entspricht. Die schwache Konvergenz in ${\mathcal L}^{p}$ ist somit ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis und auch ein Standardbeispiel für ebendiese.

Eindeutigkeit

Der Grenzwert einer schwach konvergenten Folge in ${\mathcal L}^{p}$ ist nur bis auf eine $\mu$ -Nullmenge eindeutig bestimmt. Das bedeutet, dass wenn die Funktionenfolge schwach gegen und schwach gegen konvergiert folgt, dass $f=g$ $\mu$ -fast überall ist.

Dementsprechend ist der Grenzwert bei der schwachen Konvergenz in $L^{p}$ aufgrund der Unempfindlichkeit gegenüber Nullmengen eindeutig bestimmt.

Beziehung zu anderen Konvergenzbegriffen

Konvergenz lokal nach Maß

Aus der Konvergenz lokal nach Maß folgt für $p \in (1, \infty)$ unter Umständen die schwache Konvergenz. Konvergiert eine Folge $(f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ aus ${\mathcal L}^{p}$ gegen $f\in {\mathcal L}^{p}$ lokal nach Maß und ist die Folge reeller Zahlen $(\|f_n\|_p)_{n \in \N}$ beschränkt, so konvergiert die Folge auch schwach gegen .

Für p=1 ist diese Aussage im Allgemeinen nicht richtig, wie folgendes Beispiel zeigt: Betrachtet man den Maßraum $([0,1], \mathcal B ([0,1]), \lambda|_{[0,1]})$ , so konvergiert die Folge

$f_n=n\chi_{[0,1/n]}$

lokal nach Maß gegen 0 und es ist $\|f_n\|_1=1$ für alle . Aber für die konstante Funktion g=1 aus $\mathcal L^\infty$ ist dann

$\int_X f_n g \mathrm d \lambda =1$ .

Somit konvergiert die Folge nicht schwach gegen 0.

Konvergenz im p-ten Mittel

Jede im p-ten Mittel konvergente Folge konvergiert für $p \in [1 , \infty)$ auch schwach, denn aus der Hölder-Ungleichung folgt

$\left| \int_X f_ng \mathrm d \mu - \int_X fg \mathrm d \mu \right| \leq \|f_n-f\|_p \|g\|_q$ ,

somit existiert eine konvergente Majorante. Die Grenzwerte stimmen dann überein. Der Satz von Radon-Riesz liefert unter einer Voraussetzung auch die Umkehrung. Er besagt, dass für $p \in (1, \infty)$ eine Funktionenfolge genau dann im p-ten Mittel konvergiert, wenn sie schwach konvergiert und die Folge der Normen der Funktionenfolge gegen die Norm der Grenzfunktion konvergiert.

Literatur

Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3.
Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de

Schwache Konvergenz in Lp