Proendliche Vervollständigung

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist die proendliche Vervollständigung eine Konstruktion, mit der die Informationen über alle endlichen Faktorgruppen einer Gruppe zusammengefasst werden können.

Definition

Für eine (diskrete) Gruppe >G betrachtet man das inverse System {\displaystyle \left\{G/\Gamma \right\}_{\Gamma }}, wobei \Gamma über alle Normalteiler \Gamma\subset G von endlichem Index läuft und definiert dann die proendliche Vervollständigung \widehat{G} von G als den inversen Limes dieses Systems

{\displaystyle {\widehat {G}}=\varprojlim G/\Gamma }

in der Kategorie der topologischen Gruppen.

Universelle Eigenschaft

Die proendliche Vervollständigung \widehat{G} ist eine proendliche Gruppe. Der natürliche Homomorphismus {\displaystyle i\colon G\to {\widehat {G}}} hat die folgende universelle Eigenschaft: für jeden Homomorphismus f\colon G\to H in eine proendliche Gruppe H gibt es einen stetigen Homomorphismus {\displaystyle {\hat {f}}\colon {\widehat {G}}\to H} mit {\displaystyle f={\hat {f}}\circ i}.

Weitere Eigenschaften

{\displaystyle \mathrm {Hom} ({\widehat {G}},H)=\mathrm {Hom} (G,H)}.
{\displaystyle {\widehat {G}}\simeq {\widehat {H}}\Longleftrightarrow Q(G)=Q(H)}.

Beispiele

Hauptartikel: Proendliche Zahl
Die proendliche Vervollständigung der Gruppe der ganzen Zahlen \mathbb {Z} ist
{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }.
Sie ist isomorph zum Produkt der p-adischen Zahlen über alle Primzahlen p:
{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \Pi _{p}\mathbb {Z} _{p}}.
{\displaystyle {\widehat {G}}\cong \pi _{1}^{alg}(X)}.
{\displaystyle G\to {\widehat {G}}}
ist genau dann injektiv, wenn G residuell endlich ist. Residuell endliche Gruppen sind in zahlreichen Teilen der Mathematik von Bedeutung.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 18.03. 2023