Proendliche Vervollständigung
Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist die proendliche Vervollständigung eine Konstruktion, mit der die Informationen über alle endlichen Faktorgruppen einer Gruppe zusammengefasst werden können.
Definition
Für eine (diskrete) Gruppe > betrachtet man das inverse System , wobei über alle Normalteiler von endlichem Index läuft und definiert dann die proendliche Vervollständigung von als den inversen Limes dieses Systems
in der Kategorie der topologischen Gruppen.
Universelle Eigenschaft
Die proendliche Vervollständigung ist eine proendliche Gruppe. Der natürliche Homomorphismus hat die folgende universelle Eigenschaft: für jeden Homomorphismus in eine proendliche Gruppe gibt es einen stetigen Homomorphismus mit .
Weitere Eigenschaften
- Wenn endlich erzeugt ist, dann ist jede Untergruppe von endlichem Index offen und .
- Wenn endlich erzeugt ist, dann gilt für jede endliche Gruppe
-
- .
- Für eine Gruppe bezeichne die Menge aller endlichen Faktorgruppen von . Dann gilt für endlich erzeugte Gruppen und :
-
- .
Beispiele
- Die proendliche Vervollständigung der Gruppe
der ganzen Zahlen
ist
- .
- Sie ist isomorph zum Produkt der p-adischen
Zahlen über alle Primzahlen
:
- .
- Sei die Fundamentalgruppe einer komplexen projektiven Varietät. Dann ist isomorph zur algebraischen Fundamentalgruppe von :
-
- .
- Der natürliche Homomorphismus
-
- ist genau dann injektiv, wenn residuell endlich ist. Residuell endliche Gruppen sind in zahlreichen Teilen der Mathematik von Bedeutung.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 18.03. 2023