Projektive Varietät

In der klassischen algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine projektive Varietät ein geometrisches Objekt, das durch homogene Polynome beschrieben werden kann.

Definition

Es sei ein fest gewählter, algebraisch abgeschlossener Körper.

Der -dimensionale projektive Raum über dem Körper ist definiert als

$P^{{n}}:=(K^{{n+1}}\setminus \{(0,\ldots ,0)\})/\sim$

für die Äquivalenzrelation

$(x_{0},\ldots ,x_{n})\sim (y_{0},\ldots ,y_{n})\Leftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus \{0\}\colon x_{i}=\lambda y_{i},i=0,\ldots ,n$ .

Die Äquivalenzklasse des Punktes $(x_{0},\ldots ,x_{n})$ wird mit $\left[x_{0}:\ldots :x_{n}\right]$ bezeichnet.

Für ein homogenes Polynom $f\in K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ und einen Punkt $x=[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ ist die Bedingung $f(x_{0},\ldots ,x_{n})=0$ unabhängig von den gewählten homogenen Koordinaten von .

Eine projektive algebraische Menge ist eine Teilmenge des projektiven Raumes, die die Form

$\{x\in P^{n}\mid f_{1}(x)=\ldots =f_{k}(x)=0\}$

für homogene Polynome $f_{1},\ldots ,f_{k}$ in $K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ hat.

Eine projektive Varietät ist eine irreduzible projektive algebraische Menge, d.h., die Polynome $f_{1},\ldots ,f_{k}$ sollen ein Primideal in $K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ erzeugen.

Beispiele

$P^{n}\times P^{m}$ ist eine projektive Varietät mittels der Segre-Einbettung

$P^{n}\times P^{m}\to P^{{(n+1)(m+1)-1}},(x_{i},y_{j})\mapsto x_{i}y_{j}$ (in lexikographischer Ordnung).

Das Faserprodukt zweier projektiver Varietäten ist eine projektive Varietät.
Hyperflächen sind Nullstellenmengen eines irreduziblen homogenen Polynoms. Jede irreduzible abgeschlossene Untermenge der Kodimension 1 ist eine Hyperfläche.
Eine glatte Kurve (d.h. Kurve ohne Singularitäten) ist genau dann eine projektive Varietät, wenn sie vollständig ist. Ein Beispiel sind elliptische Kurven, die sich in $P^{2}$ einbetten lassen. (Allgemein kann jede glatte vollständige Kurve in $P^{3}$ eingebettet werden.) Glatte vollständige Kurven vom Geschlecht größer als 1 heißen hyperelliptische Kurven, wenn es einen endlichen Morphismus vom Grad 2 auf den $P^{1}$ gibt.
Abelsche Varietäten besitzen ein amples Geradenbündel und sind deshalb projektiv. Beispiele sind elliptische Kurven, Jacobi-Varietäten und K3-Flächen.
Grassmann-Mannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Plücker-Einbettung.
Fahnenmannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Einbettung in ein Produkt von Graßmann-Mannigfaltigkeiten.
Kompakte Riemannsche Flächen (kompakte eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten) sind projektive Varietäten. Nach dem Satz von Torelli werden sie durch ihre Jacobi-Varietät eindeutig bestimmt.
Eine kompakte zweidimensionale komplexe Mannigfaltigkeit mit zwei algebraisch unabhängigen meromorphen Funktionen ist eine projektive Varietät. (Chow-Kodaira)
Der Kodaira-Einbettungssatz gibt ein Kriterium, wann eine Kähler-Mannigfaltigkeit eine projektive Varietät ist.

Invarianten

Das Hilbert-Samuel-Polynom des homogenen Koordinatenringes $K\left[X_{0},\ldots ,X_{n}\right]/I$ , wenn die projektive Varietät durch das homogene Primideal definiert ist. Aus dem Hilbert-Samuel-Polynom ergeben sich insbesondere die Dimension, der Grad und das arithmetische Geschlecht der Varietät.
Die Picardgruppe (die Gruppe der Isomorphismenklassen von Linienbündeln) und die Jacobi-Varietät (der Kern von $deg:Pic(X)\rightarrow \mathbb{Z }$ ).

Basierend auf einem Artikel in:

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