Abelisierung

Die Abelisierung (selten auch: Abelianisierung) ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Die Abelisierung einer Gruppe ist in gewisser Hinsicht die beste Approximation durch eine abelsche Gruppe.

Definition

Die Faktorgruppe

{\displaystyle G^{\mathrm {ab} }=G/K(G)}

einer Gruppe G nach ihrer Kommutatoruntergruppe K(G) wird Abelisierung von G genannt. Der Begriff Abelisierung wird ebenfalls für die kanonische Surjektion

{\displaystyle G\to G^{\mathrm {ab} }}

verwendet.

Eigenschaften

{\displaystyle \operatorname {Hom} (G^{\mathrm {ab} },A)\cong \operatorname {Hom} (G,A).}
Anders gesagt: Jeder Homomorphismus in eine abelsche Gruppe faktorisiert über die Abelisierung.
{\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {Z} )\cong H^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )\cong \operatorname {Hom} (G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}

Beispiele

Verlagerung

Ist H eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G, so gibt es einen kanonischen Homomorphismus

{\displaystyle \operatorname {Ver} \colon G^{\mathrm {ab} }\to H^{\mathrm {ab} },}

der Verlagerung genannt wird. Sie ist dual zur Korestriktion

{\displaystyle \operatorname {cor} \colon H^{2}(H,\mathbb {Z} )\to H^{2}(G,\mathbb {Z} ),}

lässt sich aber auch explizit beschreiben: Es sei {\displaystyle s\colon H\backslash G\to G} ein Schnitt der kanonischen Projektion (kein Homomorphismus, lediglich eine Abbildung). Dann ist die Verlagerung gegeben durch

{\displaystyle \operatorname {Ver} (gK(G))=\prod _{c\in H\backslash G}s(c)gs(cg)^{-1}K(H)\qquad (g\in G).}
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 08.11. 2019