Gesetz der kleinen Zahlen

Das Gesetz der kleinen Zahlen, Zwei-Drittel-Gesetz oder Gesetz des Drittels bzw. Drittelgesetz ist ein Satz aus der Stochastik, der einen Sonderfall der Poisson-Verteilung beschreibt. Dieser Begriff wird meist im Zusammenhang mit dem Roulettespiel verwendet und beschreibt den Sachverhalt, dass bei 37 Spielen ungefähr zwei Drittel der 37 Zahlen getroffen werden.

Die Bezeichnung Gesetz der kleinen Zahlen geht auf den russisch-deutschen Mathematiker Ladislaus von Bortkewitsch (1898) zurück, der dieses Gesetz bei der Untersuchung der Anzahl der Todesfälle durch Hufschlag in den einzelnen Kavallerie-Einheiten der preußischen Armee fand.

Das Gesetz der kleinen Zahlen beim Roulette

Betrachtet man beim Roulette mehrere Rotationen, d.h. Serien von jeweils 37 einzelnen Spielen (französisch coups), so stellt man fest, dass im Laufe einer Rotation nur ungefähr ⅔ der Nummern getroffen werden, davon etwa die Hälfte mehrfach, während das verbleibende Drittel nicht getroffen wird – daher die von Roulette-Spielern gebrauchten Bezeichnungen Zwei-Drittel-Gesetz oder seltener Gesetz des Drittels.

Im Laufe einer Rotation beim Roulette werden im Mittel

36,3 % der Nummern, d.h. 13,4 Zahlen nicht getroffen
37,3 % der Nummern, d.h. 13,8 Zahlen genau einmal getroffen
18,6 % der Nummern, d.h. 6,9 Zahlen genau zweimal getroffen
6,0 % der Nummern, d.h. 2,2 Zahlen genau dreimal getroffen
1,7 % der Nummern, d.h. 0,6 Zahlen viermal oder öfter getroffen.

Anmerkung: Diese Werte wurden mithilfe der Binomialverteilung berechnet, die die Problemstellung mathematisch exakt modelliert. Dass die Summe der gelisteten Werte nicht exakt 100 % bzw. 37 Zahlen ergibt, beruht auf den vorgenommenen Rundungen. Häufig wird das Problem mit Hilfe der Poisson-Verteilung analysiert, wobei sich eine relativ gute Näherung ergibt.

Nach dem Gesetz der großen Zahlen tritt im langfristigen Mittel jede der 37 Zahlen mit der gleichen relativen Häufigkeit auf, d.h. ist die Anzahl von Coups genügend groß, so entfällt auf jede einzelne Nummer der gleiche Anteil, nämlich 1/37 = 2,7 %. Betrachtet man mehrere Rotationen und eine im Vorhinein bestimmte Zahl, so wird diese im Mittel in jeder Rotation einmal getroffen.

Dies verleitet viele Spieler zum Fehlschluss, dass in einer Serie von 37 Coups jede einzelne Zahl einmal auftritt. Dies ist aber nicht der Fall; es ist vielmehr extrem unwahrscheinlich, dass jede Nummer genau einmal getroffen wird; die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt nur 1,3·10⁻¹⁵.

Trotz der Gleichwahrscheinlichkeit aller Zahlen tritt im Falle einer kleinen Anzahl von Spielen keine Gleichverteilung ein, sondern das obige durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung vorgegebene Muster.

Auch mit Hilfe des Zwei-Drittel-Gesetzes lässt sich keine Gewinnstrategie finden.

Der allgemeine Fall

Das Gesetz der kleinen Zahlen ist eine einfache Anwendung der Poisson-Verteilung für $\lambda = 1$ und gilt nicht nur für Rotationen beim Roulette, sondern für beliebige Serien von voneinander unabhängigen Spielen, wovon jedes einzelne gleichwahrscheinliche Ausgänge nehmen kann (siehe Poisson-Approximation). So z.B. wenn Objekte unter Empfängern verlost werden und die einzelnen Auslosungen voneinander unabhängig sind.

Das Gesetz der kleinen Zahlen trifft umso genauer zu, je größer die Anzahl ist. Für $n\to \infty$ strebt der Anteil der Empfänger, die genau Objekte erhalten, gegen den Wert

$P(X=k)={\frac {1}{k!}}\;{{\rm {e}}}^{{-1}}$

mit der eulerschen Zahl .

Der Anteil der Empfänger, die nichts bekommen, strebt somit gegen $e^{-1}\approx 36{,}7879\,\%$ . Dasselbe gilt für den Anteil derjenigen, die genau einmal bedacht werden.

Die im vorhergehenden Abschnitt angegebenen Zahlen für n=37 weichen nur um 0,5 % von den mit Hilfe der Poisson-Verteilung berechneten Grenzwerten ab.

Beispiel Reiskörner

Zufällig auf dem Boden verstreute Reiskörner

Das Bild rechts zeigt zufällig auf dem Boden verstreut liegende Reiskörner. Bildausschnitt und Rastergröße sind so gewählt, dass im Mittel auf ein Quadrat ein Reiskorn fällt, d.h. es gilt $\lambda = 1$ .

Das Auszählen der Häufigkeiten bestätigt trotz der kleinen Stichprobengröße von n=64 die (mithilfe der Poisson-Verteilung angenäherten) Erwartungswerte:

23 Quadrate enthalten kein Reiskorn. Erwartungswert (auf 2 Dezimalen gerundet): 23,54
25 Quadrate enthalten genau ein Reiskorn. Erwartungswert: 23,54.
12 Quadrate enthalten genau zwei Reiskörner. Erwartungswert: 11,77.
2 Quadrate enthalten genau drei Reiskörner. Erwartungswert: 3,92.
2 Quadrate enthalten vier oder mehr Reiskörner (1 × 4 bzw. 1 × 5). Erwartungswert: 1,22.

(Die Summe der Erwartungswerte ergibt auf eine Dezimale gerundet: 64,0.)

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de