Potenzregel

Die Potenzregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen. Sie lautet:

Die Ableitung der Funktion f(x)=x^{n} ist {\displaystyle f'(x)=n\cdot x^{n-1}}. Dies gilt für {\displaystyle n\in \{2,3,4,\ldots {}\}} und x\in \mathbb {R} bzw. für {\displaystyle n\in \{-1,-2,-3,\ldots {}\}} und {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}.

Beispielsweise hat die Funktion f(x) = x^4 die Ableitung {\displaystyle f'(x)=4\cdot x^{3}}.

Verallgemeinerung

Die Potenzregel gilt auch für Potenzfunktionen f(x)=x^{s}, x>0, deren Exponent (Hochzahl) s\in \mathbb {R} keine ganze Zahl ist:

{\displaystyle f'(x)=s\cdot x^{s-1}}

Herleitung

1. Fall: Der Exponent ist eine natürliche Zahl

Die Ableitung einer Potenzfunktion an der Stelle x ist der Grenzwert:

(x^{n})'=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac  {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}.

Nach dem binomischen Lehrsatz ist dies gleich

\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac  {{n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{{n-1}}{\Delta x}+{n \choose 2}x^{{n-2}}{\Delta x}^{2}+\dots +{n \choose n-1}x{\Delta x}^{{n-1}}+{n \choose n}{\Delta x}^{n}-x^{n}}{\Delta x}}

geschrieben mit so genannten Binomialkoeffizienten. Daraus folgt dann die Potenzregel:

(x^{n})'=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac  {{n \choose 1}x^{{n-1}}{\Delta x}+{n \choose 2}x^{{n-2}}{\Delta x}^{2}+\dots +{n \choose n-1}x{\Delta x}^{{n-1}}+{n \choose n}{\Delta x}^{n}}{\Delta x}}
=\lim _{{\Delta x\to 0}}\left[{n \choose 1}x^{{n-1}}+{n \choose 2}x^{{n-2}}{\Delta x}+\dots +{n \choose n-1}x{\Delta x}^{{n-2}}+{n \choose n}{\Delta x}^{{n-1}}\right]
={n \choose 1}x^{{n-1}}=n\cdot x^{{n-1}}.

Bildlich veranschaulicht wächst ein 'n-dimensionaler Würfel' in genau n Richtungen (entlang den n Koordinatenachsen) um '(n-1)-dimensionale Würfel' an. Ein Quadrat wächst (bzw. kristallisiert) also marginal um 2 Seitenlinien, und ein Würfel wächst um 3 Quadrate.

2. Fall: Beliebiger Exponent

Man benutzt die Darstellung mithilfe der Exponentialfunktion: x^{s}=(e^{{\ln x}})^{s}=e^{{s\cdot \ln x}} und leitet mithilfe der Kettenregel und der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion ab:

(x^{s})'=(e^{{s\cdot \ln x}})'=e^{{s\cdot \ln x}}\cdot (s\cdot \ln x)'

Für die innere Ableitung benutzt man die Faktorregel und die Regel für die Ableitung der Logarithmusfunktion:

(s\cdot \ln x)'=s\cdot {\frac  1x}

Indem man dies einsetzt und für (e^{{s\cdot \ln x}}) wieder x^{s} schreibt, erhält man

(x^{s})'=x^{s}\cdot s\cdot {\frac  1x}=s\cdot x^{{s-1}}

Diese Herleitung gilt nur für x\neq 0. Für s>1 ist die Funktion f(x)=x^{s} aber auch an der Stelle x=0 differenzierbar und die Regel gilt auch an der Stelle x=0. Man berechnet direkt mithilfe des Differenzenquotients:

f'(0)=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac  {(\Delta x)^{s}-0^{s}}{\Delta x-0}}=\lim _{{\Delta x\to 0}}(\Delta x)^{{s-1}}=0=s\cdot 0^{{s-1}}

Mehrfache Ableitung einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten

(Zur Schreibweise des Folgenden siehe Leibniz-Notation.) Innerhalb des Definitionsbereichs einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten n ist deren k-fache Ableitung...

Beweis  

Die Behauptung lässt sich für k \leq n mit vollständiger Induktion beweisen.


Induktionsanfang für {\displaystyle k=1:\quad {\frac {d}{dx}}x^{n}=n\cdot x^{n-1}={\frac {n!}{(n-1)!}}x^{n-1}} (wahr)

Induktionsvoraussetzung: {\displaystyle \quad \quad {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot x^{n-k}}

Induktionsbehauptung: {\displaystyle \quad \quad \quad {\frac {d^{k+1}}{dx^{k+1}}}x^{n}={\frac {n!}{(n-k-1)!}}\cdot x^{n-k-1}}


Induktionsschritt:

{\displaystyle \quad {\frac {d^{k+1}}{dx^{k+1}}}x^{n}=}

Die (k+1)-te Ableitung ist die Ableitung der k-ten Ableitung:

{\displaystyle \quad {\frac {d}{dx}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{n}=}

mit der Induktionsvoraussetzung:

{\displaystyle \quad {\frac {d}{dx}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot x^{n-k}=}

{\displaystyle \quad {\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot (n-k)\cdot x^{n-k-1}=}

{\displaystyle \quad {\frac {n!}{(n-k-1)!}}\cdot x^{n-k-1}}, q.e.d.

Für manche Anwendungen ist praktisch, eine Funktion als {\displaystyle 0}-te Ableitung ihrer selbst zu definieren. Wie leicht zu sehen ist, gilt dann die Regel für k=0 ebenfalls.
Für k=n ist insbesondere {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}x^{n}=n!}
Dies folgt direkt aus {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}x^{n}=n!}, denn die Ableitung einer beliebigen konstanten Funktion ist die Nullfunktion; letzteres gilt auch für die Nullfunktion selbst.
Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 25.05. 2021