Potenzregel
Die Potenzregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen. Sie lautet:
Die Ableitung der Funktion ist . Dies gilt für und bzw. für und .
Beispielsweise hat die Funktion die Ableitung .
Verallgemeinerung
Die Potenzregel gilt auch für Potenzfunktionen , , deren Exponent (Hochzahl) keine ganze Zahl ist:
Herleitung
1. Fall: Der Exponent ist eine natürliche Zahl
Die Ableitung einer Potenzfunktion an der Stelle x ist der Grenzwert:
- .
Nach dem binomischen Lehrsatz ist dies gleich
geschrieben mit so genannten Binomialkoeffizienten. Daraus folgt dann die Potenzregel:
- .
Bildlich veranschaulicht wächst ein 'n-dimensionaler Würfel' in genau n Richtungen (entlang den n Koordinatenachsen) um '(n-1)-dimensionale Würfel' an. Ein Quadrat wächst (bzw. kristallisiert) also marginal um 2 Seitenlinien, und ein Würfel wächst um 3 Quadrate.
2. Fall: Beliebiger Exponent
Man benutzt die Darstellung mithilfe der Exponentialfunktion: und leitet mithilfe der Kettenregel und der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion ab:
Für die innere Ableitung benutzt man die Faktorregel und die Regel für die Ableitung der Logarithmusfunktion:
Indem man dies einsetzt und für wieder schreibt, erhält man
Diese Herleitung gilt nur für . Für ist die Funktion aber auch an der Stelle differenzierbar und die Regel gilt auch an der Stelle . Man berechnet direkt mithilfe des Differenzenquotients:
Mehrfache Ableitung einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten
(Zur Schreibweise des Folgenden siehe Leibniz-Notation.) Innerhalb des Definitionsbereichs einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten ist deren -fache Ableitung...
- ...für .
Beweis |
Die Behauptung lässt sich für mit vollständiger Induktion beweisen.
Induktionsvoraussetzung: Induktionsbehauptung:
Die -te Ableitung ist die Ableitung der -ten Ableitung:
mit der Induktionsvoraussetzung:
, q.e.d. |
-
- Für manche Anwendungen ist praktisch, eine Funktion als -te Ableitung ihrer selbst zu definieren. Wie leicht zu sehen ist, gilt dann die Regel für ebenfalls.
- Für ist insbesondere
- ...für
-
- Dies folgt direkt aus , denn die Ableitung einer beliebigen konstanten Funktion ist die Nullfunktion; letzteres gilt auch für die Nullfunktion selbst.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 25.05. 2021