Invariantes Polynom

In der Mathematik ist ein invariantes Polynom ein Polynom P auf einem Vektorraum (siehe Symmetrische Algebra), welches unter der Wirkung einer Gruppe G auf dem Vektorraum V invariant ist, also

P(gx)=P(x)

für alle g\in G,x\in V erfüllt.

Invariante Polynome in der Linearen Algebra

Sei \mathbb {K} ein Körper und V=Mat(n,{\mathbb  K}) der Vektorraum aller n\times n-Matrizen über \mathbb {K} . Die allgemeine lineare Gruppe GL(n,{\mathbb  K}) wirkt auf V durch Konjugation:

gx:=gxg^{{-1}} für g\in GL(n,{\mathbb  K}),x\in Mat(n,{\mathbb  K}).

Invariante Polynome sind in diesem Fall Funktionen P:Mat(n,{\mathbb  K})\rightarrow {\mathbb  K} mit P(gxg^{{-1}})=P(x) für alle g\in GL(n,{\mathbb  K}),x\in Mat(n,{\mathbb  K}).

Beispiele sind die Spur und die Determinante von Matrizen. Allgemeiner kann man (mit einer formalen Variable t) die Entwicklung

det(tA+I)=\sum _{{k=0}}^{n}c_{k}(A)t^{k}

betrachten und erhält invariante Polynome c_{0},\ldots ,c_{n}. (c_{1} ist die Spur und c_{n} die Determinante. Falls \mathbb {K} algebraisch abgeschlossen ist, dann ist allgemein c_k das k-te elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von A.)

Invariante Polynome in der Theorie der Lie-Gruppen

Sei G eine Lie-Gruppe und {\mathfrak {g}} ihre Lie-Algebra. Ein Polynom auf {\mathfrak {g}} ist ein Polynom (mit reellen Koeffizienten) in den Basisvektoren von {\mathfrak {g}}, siehe Symmetrische Algebra.

Die Gruppe G wirkt auf sich selbst durch Konjugation: c_{g}(h):=ghg^{{-1}} für alle h\in G. Das Differential von c_g ist eine lineare Abbildung

Ad(g):=D(c_{g})_{e}:{\mathfrak  g}\rightarrow {\mathfrak  g},

dies definiert die sogenannte adjungierte Darstellung der Gruppe G auf dem Vektorraum {\mathfrak {g}}.

Ein invariantes Polynom ist ein Polynom auf {\mathfrak {g}}, welches invariant unter der adjungierten Wirkung ist, also

P(Ad(g)X_{1},\ldots ,Ad(g)X_{k})=P(X_{1},\ldots ,X_{k}) für alle g\in G,X_{1},\ldots ,X_{k}\in {\mathfrak  g}

erfüllt. Die Algebra der invarianten Polynome wird mit I^{*}({\mathfrak  g}) bezeichnet.

Beispiel GL(n,ℝ)

In diesem Fall ist {\mathfrak  g}=Mat(n,{\mathbb  R}) und Ad(g)(A)=gAg^{{-1}} für g\in GL(n,{\mathbb  R}),A\in Mat(n,{\mathbb  R}). Für k\in {\mathbb  N} sei P_{{{\frac  {k}{2}}}} das homogene Polynom vom Grad k, dessen Wert auf (A,\ldots ,A) man als Koeffizienten vom Grad n-k im Polynom

det(\lambda {\mathbb  I}-{\frac  {1}{2\pi }}A)=\sum _{k}P_{{{\frac  {k}{2}}}}(A,\ldots ,A)\lambda ^{{n-k}}

erhält, für alle A\in Mat(n,{\mathbb  R}). (Die Werte für die (A,\ldots ,A) legen ein Polynom bereits eindeutig fest.) Das Polynom P_{{{\frac  {k}{2}}}} heißt das {\frac  {k}{2}}-te Pontrjagin-Polynom.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den P_{{{\frac  {k}{2}}}}\in I^{k}({\mathfrak  g}l(n,{\mathbb  R})) erzeugt.

Beispiel G=O(n)

Für A\in {\mathfrak  o}(n) gilt A=-A^{T}, woraus zunächst det(\lambda {\mathbb  I}-{\frac  {1}{2\pi }}A)=det(\lambda {\mathbb  I}+{\frac  {1}{2\pi }}A) und damit dann P_{{{\frac  {k}{2}}}}=0 für alle ungeraden k folgt.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den P_{k}\in I^{{2k}}({\mathfrak  o}(n)) erzeugt.

Beispiel G=SO(n)

Falls n=2m gerade ist, hat man zusätzlich noch die Pfaffsche Determinante, die für A=(a_{ij}) mit a_{{ij}}=-a_{{ji}} definiert ist durch

Pf(A,\ldots ,A)={\frac  {1}{2^{{2m}}\pi ^{m}m!}}\sum _{{\sigma \in S_{{2m}}}}sign(\sigma )a_{{\sigma (1)\sigma (2)}}\ldots a_{{\sigma (2m-1)\sigma (2m)}}.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Pontrjagin-Polynomen P_{k}\in I^{{2k}}({\mathfrak  s}o(n)) und – falls n gerade ist – der (auch als Euler-Polynom bezeichneten) Pfaffschen Determinante Pf\in I^{{{\frac  {n}{2}}}}({\mathfrak  s}o(n)) erzeugt.

Beispiel G=GL(n,ℂ)

Für k\in {\mathbb  N} sei C_{{{\frac  {k}{2}}}} das komplex-wertige homogene Polynom vom Grad k, dessen Wert auf (A,\ldots ,A) man als Koeffizienten vom Grad n-k im Polynom

det(\lambda {\mathbb  I}-{\frac  {1}{2\pi i}}A)=\sum _{k}C_{k}(A,\ldots ,A)\lambda ^{{n-k}}

erhält, für alle A\in Mat(n,{\mathbb  C}). Das Polynom C_{k} heißt das k-te Chern-Polynom. Die Chern- und Pontrjagin-Polynome hängen über die Gleichung i^{k}C_{k}(A,\ldots ,A)=P_{{{\frac  {k}{2}}}}(A,\ldots ,A) zusammen.

Die Algebra der komplex-wertigen invarianten Polynome wird von den C_{{k}}\in I^{k}({\mathfrak  g}l(n,{\mathbb  C})) erzeugt.

Beispiel G=U(n)

Für A\in {\mathfrak  u}(n) ist A=-A^{H} und damit det\left(\lambda {\mathbb  I}-{\frac  {1}{2\pi i}}A\right)=\overline {det\left(\lambda {\mathbb  I}-{\frac  {1}{2\pi i}}A\right)}, deshalb sind die Chern-Polynome auf {\mathfrak  u}(n) reell-wertig.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den C_{{k}}\in I^{k}({\mathfrak  u}(n)) erzeugt.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 13.05. 2021