Symmetrische Algebra

In der Mathematik dienen symmetrische Algebren zur Definition von Polynomen über beliebigen Vektorräumen. Sie spielen eine wichtige Rolle etwa in der Theorie der Lie-Gruppen und in der Theorie der charakteristischen Klassen.

Formale Definition

Es sei ein Vektorraum über einem Körper . Weiter sei

$T^{k}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V}_{{k{\text{-mal}}}}$

das -fache Tensorprodukt von mit den Konventionen $T^{0}(V)=K$ und $T^{1}(V)=V$ . Die direkte Summe

$T(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty T^k(V)$

ist die Tensoralgebra von .

Das zweiseitige, homogene Ideal $I(V)\subseteq T(V)$ sei erzeugt durch Differenzen von Elementartensoren mit "vertauschter Reihenfolge":

$I(V) := \mathrm{span}\left\{v\otimes w - w \otimes v\Big|\; v, w\in V \right\}$ .

Die symmetrische Algebra ist dann definiert als der Quotientenraum

Die -te symmetrische Potenz von ist definiert als das Bild von $T^{k}(V)$ in S(V) , sie wird mit S^k(V) bezeichnet. Man hat eine Zerlegung

$S(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty S^k(V)$ .

Das Produkt in der symmetrischen Algebra wird traditionell als a b geschrieben.

Analog kann man die symmetrische Algebra von Moduln über kommutativen Ringen definieren.

Beispiele

Für V=K ist S(V) isomorph zum Polynomring K[X] .

Allgemein kann man die Elemente von S(V) als Polynome in den Elementen einer fest gewählten -Basis von interpretieren.

Speziell für $V:=\mathfrak gl(n,K)=Mat(n,K)$ , den Vektorraum der $n\times n$ -Matrizen über , kann man die Elemente von S(V) als Polynome in den Einträgen der Matrizen interpretieren:

$S(\mathfrak gl(n,K))\simeq K\left[x_{11},\ldots,x_{nn}\right]$ .

Polynome über Vektorräumen

Homogene Polynome vom Grad über einem $\mathbb {K}$ -Vektorraum sind – per Definition – die Elemente aus S^k(V^*) , wobei $V^{*}$ den Dualraum bezeichnet. Diese Polynome sind lineare Abbildungen

$P:\underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{k\text{-mal}}\rightarrow \mathbb K$

welche unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe S_k invariant sind. (Man beachte, dass ein solches Polynom durch seine Werte $P(x,x,\ldots,x)$ für alle $x\in V$ bereits eindeutig festgelegt wird.)

Das Produkt

$S^k(V^*)\otimes S^l(V^*)\rightarrow S^{k+l}(V^*)$

ist definiert durch

$(PQ)(v_1,\ldots,v_{k+l})=\frac{1}{(k+l)!}\sum_{\sigma\in S_{k+l}}P(v_{\sigma(1)},\ldots.v_{\sigma(k)})Q(v_{\sigma(k+1)},\ldots,v_{\sigma(k+l)})$ .

Siehe auch

Graßmann-Algebra

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de