Stabiles Normalenbündel
Das stabile Normalenbündel einer Mannigfaltigkeit ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Differentialtopologie, einem Teilgebiet der Mathematik.
Idee
Nach dem Satz von Whitney hat jede Mannigfaltigkeit eine Einbettung in einen euklidischen Raum, für die man dann das Normalenbündel betrachten kann. Diese Einbettung ist in niedrigen Kodimensionen nicht eindeutig, in hinreichend hohen Kodimensionen aber eindeutig bis auf Isotopie, so dass man für Einbettungen in hochdimensionale euklidische Räume ein bis auf Isomorphismus eindeutiges Normalenbündel definieren kann.
Definition
Es sei
eine differenzierbare n-Mannigfaltigkeit mit Tangentialbündel
.
Es sei
die klassifizierende
Abbildung des Tangentialbündels. Hierbei bezeichnet
die Graßmann-Mannigfaltigkeit,
den klassifizierenden
Raum für n-dimensionale Vektorbündel.
Für eine Einbettung
hat das Normalenbündel eine klassifizierende Abbildung
,
so dass die Whitney-Summe
zu einer konstanten Abbildung homotop ist.
Es sei
die unendlich-dimensionale Graßmann-Mannigfaltigkeit, der klassifizierende Raum
für stabile
Vektorbündel. Man kann zeigen, dass die Homotopieklasse der Zusammensetzung
nicht von der gewählten Einbettung abhängt. Das durch diese klassifizierende
Abbildung definierte stabile Vektorbündel heißt das stabile
Normalenbündel von
.



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.09. 2021