Kodimension

Die Kodimension bezeichnet in verschiedenen Bereichen der Mathematik das Komplement zur Dimension. Also ist im n-dimensionalen Raum die Summe aus Dimension und Kodimension eines Objektes gleich n. Im dreidimensionalen Raum hat damit eine Fläche (Dimension: 2) die Kodimension 1, eine Linie (Dimension: 1) die Kodimension 2 und ein Punkt (Dimension: 0) die Kodimension 3.

Definition

Ist V ein Vektorraum über einem beliebigen Körper und ist U ein Untervektorraum von V, dann wird die Kodimension von U in V durch

{\displaystyle \mathrm {codim} (U,V)=\dim(V/U),}

also als die Dimension des Faktorraums V/U, definiert.

Eigenschaften

\dim U+{\mathrm  {codim}}(U,V)=\dim V.
Ist V endlichdimensional, so ist also
{\displaystyle \mathrm {codim} (U,V)=\dim V-\dim U.}
{\mathrm  {codim}}(U,V)=\dim W.
{\displaystyle \mathrm {codim} (U_{1}\cap U_{2},V)\leq \mathrm {codim} (U_{1},V)+\mathrm {codim} (U_{2},V).}
{\mathrm  {codim}}(U\cap W,W)={\mathrm  {codim}}(U,U+W)\leq {\mathrm  {codim}}(U,V).

Beispiele

Eine Ebene hat die Dimension 2. In einem dreidimensionalen Raum hat sie die Kodimension 1 und in einem vierdimensionalen Raum die Kodimension 2. Ein Punkt hat in einer Geraden die Kodimension 1 und in einer Ebene die Kodimension 2. Eine Hyperebene hat immer die Kodimension 1, die Dimension der Hyperebene ist immer um 1 kleiner als die Dimension des umgebenden Raums.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 02.10. 2019