Rationale Abbildung
Sind und zwei irreduzible algebraischen Varietäten oder Schemata, so ist eine rationale Abbildung eine Funktion von einer offenen Teilmenge von nach . Ähnlich wie Abbildungen von Varietäten Homomorphismen der Koordinatenringe entsprechen, entsprechen rationale Abbildungen Körperhomomorphismen der Funktionenkörper der Varietäten.
Rationale Abbildungen werden benötigt zur Definition der birationalen Äquivalenz, ein wichtiger Begriff zur Klassifikation von Varietäten.
Definitionen
Reguläre Funktionen algebraischer Varietäten
Im Folgenden sei eine irreduzible affine Varietät mit Koordinatenring . Der Koordinatenring ist ein Integritätsbereich, bezeichne seinen Quotientenkörper. Die Elemente aus werden als rationale Funktionen auf bezeichnet.
Ist und , so wird regulär in genannt, wenn existieren mit:
Ist , so wird die Menge der Elemente, in denen regulär ist, als Definitionsbereich von , als , bezeichnet.
Rationale Abbildungen von Varietäten
bezeichne den n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper k.
Seien und Varietäten über einem Körper . Eine rationale Abbildung von nach ist ein Tupel
mit und für alle
Die Abbildung heißt in regulär, falls alle in regulär sind. Der Definitionsbereich von ist
Eine rationale Abbildung von nach ist also nicht auf ganz definiert, sondern nur auf einer offenen Teilmenge .
Daher werden sie auch mit einem gestrichelten Pfeil notiert:
Dominante rationale Abbildungen
Rationale Abbildungen können nicht immer miteinander verkettet werden, wie das folgende Beispiel zeigt:
- also
denn
Eine Verkettung ist hingegen immer bei dominanten rationalen Abbildungen möglich:
Eine rationale Abbildung
heißt dominant, wenn eine in dichte Menge ist.
Birationale Abbildungen
Eine birationale Abbildung
ist eine rationale Abbildung, zu der es eine rationale Abbildung
gibt mit
und
Die Varietäten werden dann als birational äquivalent genannt.
Zusammenhang mit Körperhomomorphismen
Sei
eine rationale Abbildung. sei durch das Ideal definiert. Wegen
gilt für alle
Ist also
- also
so ist wohldefiniert. Eine rationale Abbildung induziert daher eine Abbildung
Ist
so ist das äquivalent zu
Ist dominant, so muss in diesem Fall sein, da keine Funktion auf einer dichten Menge verschwinden kann. Es gilt daher:
- ist injektiv ist dominant.
In diesem Fall induziert einen -linearen Körperhomomorphismus
Umgekehrt lässt sich zu jedem -linearen Körperhomomorphismus
eine (dadurch eindeutig bestimmte) dominante rationale Abbildung
finden mit
Es lässt sich sogar zeigen, dass die Sternabbildung ein kontravarianter Funktor ist, der eine Äquivalenz zwischen bestimmten Kategorien herstellt.
Verallgemeinerungen
Obige Definition lässt sich auf quasiaffine, quasiprojektive und projektive Varietäten durch Äquivalenzklassen verallgemeinern. Seien nun und affine, quasiaffine, quasiprojektive oder projektive Varietäten.
Sind offene Mengen und und Morphismen von beziehungsweise nach .
Die Äquivalenzrelation wird folgendermaßen definiert: ist äquivalent zu , wenn und auf übereinstimmen.
Eine rationale Abbildung
ist nun eine Äquivalenzklasse bezüglich dieser Äquivalenzrelation.
Eine rationale Abbildung wird dominant genannt, wenn ein (und damit jeder) Repräsentant ein dichtes Bild hat.
Beispiele
Neilsche Parabel
Sei die Neilsche Parabel, die durch das Polynom
definiert ist. Der Morphismus
ist bijektiv, aber kein Isomorphismus, da die Umkehrabbildung kein Morphismus ist. Auf lässt sich durch
eine rationale Abbildung definieren mit
für die gilt:
- und .
Die beiden Varietäten sind daher birational äquivalent.
Projektion im projektiven Raum
Die Projektion
ist eine rationale Abbildung. Sie ist für n > 1 nur im Punkt
nicht regulär.
Ist n = 1, so scheint die Abbildung im Punkt
nicht regulär zu sein, denn nach Definition ist
und
Aber die Abbildung lässt sich in diesem Punkt fortsetzen, die Abbildung kann nämlich auch geschrieben werden als
Allgemein ist jede rationale Abbildung von einer glatten Kurve in einen projektiven Raum ein Morphismus.
Literatur
- Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2000, ISBN 3-528-03156-5.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 12.09. 2021