Bernoullische Energiegleichung

Die bernoullische Energiegleichung, auch Satz von Bernoulli genannt, ist eine wichtige Gleichung in der Strömungslehre, die nach Daniel Bernoulli benannt ist. Sie ist ein Ausdruck des Energieerhaltungssatzes und wird typischerweise so formuliert, dass alle Energieanteile über die Schwerebeschleunigung und die Dichte der Flüssigkeit in Höhen umgerechnet werden. Die Summe der so definierten Geschwindigkeitshöhe und Druckhöhe plus der geodätischen Höhe ist (im reibungsfreien Fall) konstant, gleich der Energiehöhe.

Die Bernoullische Energiegleichung als Höhengleichung

Schema des Druckverlaufs in einer reibungsbehafteten, abfallenden Rohrleitung

Schema des Druckverlaufs in einer Rohrleitung

Die Herleitung der Bernoullischen Energiegleichung erfolgt über den Impulserhaltungssatz (siehe auch Euler-Gleichungen).

Bei der stationären (zeitlich sich nicht verändernden) Bewegung einer idealen (reibungsfreien) Flüssigkeit, die nur der Schwerkraft unterworfen ist, gilt für alle Punkte einer Stromlinie, dass die Summe aus Geschwindigkeitshöhe $\tfrac{w^2}{2 g}$ und Druckhöhe $\tfrac{p}{\rho g}$ und geodätischer Höhe konstant ist. Die Geschwindigkeitshöhe kann als Staudruck der Strömung verstanden werden, die Druckhöhe als Maß des Druckes der Flüssigkeit.

$\frac{w^2}{2 g} + \frac{p}{\rho g} + z = \text{const.}$

wobei

w: Strömungsgeschwindigkeit

g: Schwerebeschleunigung

p: Druck

ρ (rho): Dichte

z: Höhe über/unter einer Bezugsebene mit gleicher geodätischer Höhe

Diese Summe wird als Energiehöhe bezeichnet und in Metern angegeben.

Bernoullische Druckgleichung reibungsfreier, inkompressibler Medien (Flüssigkeiten)

Multipliziert man die bernoullische Energiegleichung mit ρ und g, erhält man die bernoullische Druckgleichung:

$p + \rho g z + \frac{\rho }{2} w^2 = \text{const.}$

Aus der bernoullischen Energiegleichung ist ersichtlich, dass zum Beispiel bei einer inkompressiblen Flüssigkeit ( $\rho = \text{const}$ ) eine Geschwindigkeitserhöhung in einer Rohrleitung durch Einengung des Querschnittes zu einer Verminderung des Druckes führen muss, wenn die geodätische Höhe gleich bleibt.

Erweiterte bernoullische Druckgleichung reibungsfreier, idealer Gase

Die vorherige Druckgleichung nach Bernoulli gilt nur für Flüssigkeiten oder Medien mit vernachlässigbarer Dichteänderung hinreichend. Bei Gasen und größeren Geschwindigkeitsänderungen müssen die mit der Druckänderung einhergehenden Dichte- und Temperaturänderungen im Energieansatz berücksichtigt werden. Die Druckgleichung eines reibungsfreien, idealen Gases lautet damit:

$\frac {p }{\rho } + g z + \frac {1}{2} w^2 + c_{\text {v}} T = \text{const.}$

$c_{\text {v}}$ : spezifische Wärmekapazität des Gases bei konstantem Volumen

: Temperatur des Gases (absolut)

Im Gegensatz zur einfachen Bernoulligleichung inkompressibler Medien, mit welcher sich relativ leicht Druckänderungen in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit berechnen lassen, ist dies mit der "erweiterten Bernoulligleichung" nicht ohne weiteres möglich, da die Dichteänderung des Gases gleichzeitig mit einer zusätzlichen Geschwindigkeits- und Temperaturänderung einher geht. Mit der Gleichung für den "Ruhedruck" kann allerdings der Maximaldruck berechnet werden, welcher sich bei einer reibungsfreien Gasströmung ergeben würde, wenn der Rohrquerschnitt so weit vergrößert wird, dass die Strömungsgeschwindigkeit auf einen vernachlässigbaren Wert abnimmt.

Erweiterte bernoullische Energiegleichung zäher Flüssigkeiten

Die erweiterte bernoullische Energiegleichung setzt sich mit zähen Flüssigkeiten auseinander. Dabei werden die Reibungsverluste berücksichtigt. Die so genannte Verlusthöhe H_v wird empirisch meist durch einen Druckverlustbeiwert $\zeta$ (Zeta) mit folgender Funktion berechnet:

$H_v = \zeta \, \frac{w^2}{2 g}$

mit

ζ: Druckverlustbeiwert

w: Geschwindigkeit

g: Schwerebeschleunigung

Diese Annahme fußt auf der empirischen Beobachtung, dass die Druckverluste in Rohrleitungen bei turbulenter Strömung mit dem Quadrat der Fließgeschwindigkeit steigen. Die Verlustbeiwerte oder die Summe der Verlustbeiwerte in einem Gesamtsystem setzen sich zusammen aus:

Einzelverlusten wie Ein- und Auslaufverlust, Einbautenverlust (Krümmer, Einengungen, Schieber) und
Verlusten aus der Rohrreibung

Die erweiterte Energiegleichung lautet daher:

$\frac{w^2}{2 g} + \frac{p}{\rho g} + z + \zeta \frac{w^2}{2 g} = \text{const.} = H_0$

Mit dieser Gleichung können bei Kenntnis der Verlustbeiwerte die üblichen Fragen der Bemessung von Rohrleitungssystemen mit turbulenter Strömung gelöst werden.

Für die Berechnung der Energieverluste wäre zwischen Einzelverlusten und Verlusten in geraden Rohren zu unterscheiden.