Eigenleitungsdichte

Die Eigenleitungsdichte $n_{\mathrm {i} }$ (auch intrinsische Ladungsträgerdichte) ist die charakteristische Ladungsträgerdichte eines Stoffes in Abhängigkeit von der Temperatur

$n_{{\mathrm {i}}}=f(T)$

Da sie die Leitfähigkeit bestimmt, ist sie besonders bei der Auswahl von Materialien für Halbleiter bauelemente von Interesse, man spricht in dem Zusammenhang auch von der Eigenleitung als Leitungsmechanismus.

Physikalische Beschreibung

Eigenleitungsdichte für einige wichtige Halbleiter bei T = 300 K
Halbleiter	n_i in cm⁻³
Germanium (Ge)	2,33 × 10¹³
Silizium (Si)	1,5 × 10¹⁰
Galliumarsenid (GaAs)	2,1 × 10⁶

Bei Halbleitern sind im absoluten Nullpunkt sämtliche Elektronen an den Kristall atomen gebunden. Erst ab einer bestimmten Temperatur steht eine ausreichende thermische Energie zur Verfügung, um Elektronen in das Leitungsband anzuheben. Die frei gewordenen Elektronen und die zurückbleibenden Defektelektronen (Löcher) stehen zum Ladungstransport zur Verfügung (Generation von Elektron-Loch-Paaren); diesem Effekt entgegengerichtet ist die Rekombination von Elektron-Loch-Paaren unter Freiwerdung von Energie.

Im thermodynamischen Gleichgewicht stellt sich ein Gleichgewicht aus Generation und Rekombination ein: die Anzahl an frei beweglichen Ladungsträgern ist im zeitlichen Mittel konstant. Die Eigenleitungsdichte setzt sich somit zusammen aus der durchschnittlichen Anzahl an freien Elektronen und Löchern bei einer bestimmten Temperatur:

$n_\mathrm{i}^2 = n \cdot p$ (Massenwirkungsgesetz)

mit

n: Elektronendichte
p: Löcherdichte.

für schwach dotierte Systeme

Für schwach dotierte Systeme kann man anstatt der Fermi-Verteilung die Boltzmann-Verteilung anwenden, dann ergeben sich die Ladungsträgerdichten zu:

$n=N_{{{\mathrm {c}}}}\cdot \exp \left(-{\frac {E_{{{\mathrm {c}}}}-\mu }{k_{{{\mathrm {B}}}}\cdot T}}\right)$

$p=N_{{{\mathrm {v}}}}\cdot \exp \left(+{\frac {E_{{{\mathrm {v}}}}-\mu }{k_{{{\mathrm {B}}}}\cdot T}}\right)$

mit

N_c, N_v: effektive Zustandsdichte in Leitungs- und Valenzband (c für engl. conduction / dt.: Leitung)
E_c: Energie der Unterkante Leitungsband
E_v: Energie der Oberkante Valenzband
μ: chemisches Potential
k_B: Boltzmannkonstante
T: Temperatur.

Somit ergibt sich die Eigenleitungsdichte:

${\begin{aligned}\Rightarrow n_{{\mathrm {i}}}^{{2}}&=n\cdot p\\&=N_{{{\mathrm {c}}}}\cdot N_{{{\mathrm {v}}}}\cdot \exp \left(-{\frac {E_{{{\mathrm {c}}}}-E_{{v}}}{k_{{{\mathrm {B}}}}\cdot T}}\right)\\&=N_{{{\mathrm {c}}}}\cdot N_{{{\mathrm {v}}}}\cdot \exp \left(-{\frac {E_{{{\mathrm {g}}}}}{k_{{{\mathrm {B}}}}\cdot T}}\right)\end{aligned}}$

mit

$E_{{\mathrm {g}}}=E_{{\mathrm {c}}}-E_{{\mathrm {v}}}$ : Energie der Bandlücke.

Zustand in realen Kristallen

Es ist zu beachten, dass es keinen perfekten Kristall gibt (Entropieargument der Thermodynamik). In realen Kristallen beträgt die intrinsische Störstellenkonzentration ca. 5·10¹³ cm⁻³, d.h. jedes milliardste Atom gehört zu einem anderen Element; durch extrinsische Störstellen (Dotierung) lässt sich die Ladungsträgerdichte und damit die Leitfähigkeit weiter steigern.

Da der Ionisationsgrad der Störstellen von der Temperatur abhängt, nimmt die Ladungsträgerdichte zunächst mit der Temperatur zu (Störstellenreserve). Bei Raumtemperatur sind (bei Silizium) normalerweise alle Störstellen ionisiert (Störstellenerschöpfung), und die Ladungsträgerdichte hängt nicht mehr von der Temperatur, sondern von der Dotierkonzentration ab; dieser Fall wird als extrinsisch bezeichnet.

Erhöht man die Temperatur weiter, verliert der Halbleiter seinen Charakter als n-dotiert oder p-dotiert, da zunehmend mehr Ladungsträger durch die intrinsische Ladungsträgergeneration generiert werden. Das Halbleitermaterial wird wieder intrinsisch, weil die thermische Energie nun ausreicht, Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband anzuregen. Bei Silizium-Halbleiterbauelementen wird deshalb oft eine maximale Betriebstemperatur von 125 °C angegeben.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de